顺序统计量

顺序统计量问题是在统计和概率论中应用甚广的一个问题，它是对有限$n$个独立同分布的连续型随机变量进行的相关研究。它的研究背景是对一些百年一遇或是工程桥梁问题的分析，这些问题往往需要考虑到多个随机变量的最值达到临界值（短板效应）的情形。

顺序统计量

设$n$个独立同分布的连续型随机变量$X_i,i=1,2,\cdots,n$的分布函数和密度函数是$F(x), f(x)$，我们考察以下将上述随机变量重排 $$X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant X_{(n)}$$ 可能出现的概率有多大，这样的问题是顺序统计量问题。

我们注意到上述重排的过程中各随机变量间是对称的，这可给出一个假定：随机变量之间有平等关系，因此我们可以只研究某个或某几个之间的关系。

例如，重排后位于$X_{(i)}$位置上的随机变量所满足的分布$P\{ X_{(i)} < x \}$就是一个典型问题，再特别地，当$i=1$时就是$P\{ \min_{1 \leqslant i \leqslant n } \{ X_i \} < x \}$的分布函数，而$i=n$时就是$P\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n } \{ X_i \} < x \}$的分布函数。

最值分布

我们先来考察最简单的最值分布，假设同上。

最大值函数的分布函数是 $$\begin{align} P\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \{ X_i \} < x \} & = P\{ X_1 < x, X_2 < x, \cdots, X_n < x \} \\ & = P\{ X_1 < x \} P\{ X_2 < x \} \cdots P\{ X_n < x \} \\ & = [F(x)]^n. \end{align}$$ 最小值函数的分布函数是 $$\begin{align} P\{ \min_{1 \leqslant i \leqslant n} \{ X_i \} < x \} & = 1 - P\{ \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \{ X_i \} \geqslant x \} \\ & = 1 - P\{ X_1 \geqslant x, X_2 \geqslant x, \cdots, X_n \geqslant x \} \\ & = 1 - [1 - F(x)]^n. \end{align}$$

一元分布

我们来考虑第$i$小的元素$X_{(i)}$所服从的分布，为了考虑$P\{ X_{(i)} < x \}$，我们可以把随机变量的所有可能取值分为三部分$(-\infty,x), [x, x+\Delta x), [x+\Delta x, +\infty)$，这样就是一个多项分布问题：有$i-1$个随机变量的值取到$(-\infty, x)$且每个的概率是$F(x)$，有$1$个随机变量的值取到且其概率为$F(x+\Delta x) - F(x)$，有$n-i$个随机变量的值取到$[x+\Delta x, +\infty)$且每个的概率是$1 - F(x+\Delta x)$。

于是，可以写出 $$P\{ x < X_{(i)} \leqslant x+\Delta x \} = \dfrac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}[F(x)]^{i-1} [F(x+\Delta x) - F(x)] [1-F(x+\Delta x)]^{n-i}$$ 进而，可得密度函数 $$f_i (x) = \dfrac{n!}{(i-1)!(n-i)!}[F(x)]^{i-1} [1-F(x)]^{n-i} f(x)$$ 显然，当$i = 1, n$时又重新得到 $$\begin{align} f_{\text{min}} (x) & = n [1-F(x)]^{n-1} f(x) \\ f_{\text{max}} (x) & = n [F(x)]^{n-1} f(x) \\ \end{align}$$

多元情形

为了简化情况，我们仅讨论二元情形，更多元的类似。我们来考虑第$i$小的元素$X_{(i)}$以及第$j$小的元素$X_{(j)}, i < j$所服从的联合分布，为了考虑$P\{ X_{(i)} < x, X_{(j)} < y \}$，我们可以把随机变量的所有可能取值分为五部分 $$(-\infty,x), [x, x+\Delta x), [x+\Delta x, y), [y, y+\Delta y), [y+\Delta y, +\infty)$$ 这样就是一个多项分布问题：

有$i-1$个随机变量的值取到$(-\infty, x)$且每个的概率是$F(x)$，

有$1$个随机变量的值取到$[x, x+\Delta x)$且其概率是$F(x+\Delta x) - F(x)$，

有$j-i-1$个随机变量的值取到$[x+\Delta x, y)$且每个的概率是$F(y) - F(x+\Delta x)$，

有$1$个随机变量的值取到$[y, y+\Delta y)$且每个的概率是$F(x+\Delta x) - F(x)$，

有$n-j$个随机变量的值取到$[y+\Delta y, +\infty)$且每个的概率是$1 - F(y+\Delta y)$。

于是，可以写出 $$\begin{align} &P\{ x < X_{(i)} \leqslant x+\Delta x, x < X_{(j)} \leqslant y+\Delta y \} = \dfrac{n!}{(i-1)!1!(j-i-1)!1!(n-j)!} \\ &[F(x)]^{i-1} [F(x+\Delta x) - F(x)] [F(y) - F(x+\Delta x)]^{j-i-1} [F(y+\Delta y) - F(y)] [1-F(x+\Delta x)]^{n-j} \end{align}$$ 进而令$\Delta x \to 0, \Delta y \to 0$，可得联合密度函数 $$\begin{align} f_{i,j} (x, y) & = \dfrac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} \\ & \quad~ [F(x)]^{i-1}[F(y)-F(x)]^{j-i-1} [1-F(y)]^{n-j} f(x)f(y), \quad x \leqslant y \end{align}$$

极差分布

二元情形我们还关心极差$R = X_{(n)} - X_{(1)}$的概率分布情况，实际上在二元分布中分别令$i = 1, j = n$得到联合密度函数 $$\begin{align} f_{1,n} (x, y) & = n(n-1) [F(y) - F(x)]^{n-2} f(x)f(y), \quad x \leqslant y \end{align}$$ 由卷积公式，得到 $$f_R (r) = n(n-1) \int_{-\infty}^{+\infty} [F(u+r)-F(u)]^{n-2} p(u) p(u+r) \mathrm{d}u.$$

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