非齐次常系数线性常微分方程

非齐次常系数线性常微分方程是一类线性常微分方程，它有形式

$${\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a_{1}{\dfrac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+a_{n}y=f(x),$$

其中，$a_i, i = 1,2,\cdots,n$是实常数，函数$f(x)$是某区间上的连续函数。这类方程可以通过先解对应的齐次方程使用常数变易法求一个特解，但步骤一般较为繁琐。

比较系数法

如果$f(x)$有如下形式

$$f(x) = (b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m) \text{e}^{\mu x}$$

其中，$b_i, i = 1,2,\cdots,m$为实常数，复常数$\mu \in \C$。

通过求解对应的齐次方程可以得到齐次通解$\widetilde{y} (x)$。可以证明，方程#Eq1会有一个特解

$$\overline{y} (x) = x^k (A_0 x^m + A_1 x^{m-1} + \cdots + A_{m-1} x + A_m) \text{e}^{\mu x}$$

其中，$k$是$\mu$在特征方程

$$F(\lambda) = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1} \lambda + a_n = 0$$

的特征根的重数，如果$\mu$不是特征根，那么$k = 0.$

待定常数$A_i, i = 1,2,\cdots,m$需要将其各阶导数以及原函数$\overline{y}(x)$带入原方程中比较系数得出。

如果$f(x)$有如下形式

$$f(x) = (b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m) \text{e}^{\alpha x} \cos(\beta x)$$

可以认为该方程是当

$$f_0(x) = (b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m) \text{e}^{\mu x}$$

时的实部方程，这样$\mu = \alpha + \text{i} \beta$，同样运用上述方法，得到一个特解$\overline{y_0}(x)$，再取其实部就是原方程的一个特解$\overline{y}(x)$。

对于

$$f(x) = (b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_{m-1} x + b_m) \text{e}^{\alpha x} \sin(\beta x)$$

的情形，考虑相应的虚部即可。

以上是求解特解的步骤，通解就是

$$y(x) = \overline{y}(x) + \widetilde{y} (x).$$

上下节

• 上一节：Euler 方程
• 下一节：可降阶的高阶微分方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.