非负可测函数的积分

作为实变函数定义 Lebesgue 积分的需要，我们先讨论比较容易的函数——非负可测函数的积分。

以下我们为了和 Riemann 积分做区别，我们在积分号前加一个$(L)$以表示 Lebesgue 积分，而 Riemann 积分则会在积分号前加一个$(R).$

一般测度空间中非负可测函数的积分参见/测度论。

非负简单函数

设函数$f(x)$是$\R^n$中可测集$E$的非负简单函数，即它在一系列可测子集$A_i$上取值为$c_i$，$E = \bigcup_{i=1}^\infty A_i.$我们定义它的 Lebesgue 积分

$$(L) \int_E f(x) \mathrm{d}x = \sum_{i=1}^\infty c_i m(A_i).$$

这里允许积分值取到正无穷，也允许$E$是无界的甚至是$\R^n$，积分中我们约定$0 \cdot \infty = 0.$

由此立即计算出$[0,1]$上的 Dirichlet 函数$D(x) = \begin{cases} 1, x \in \Q, \\ 0, x \notin \Q \end{cases}$的 Lebesgue 积分为

$$(L) \int_{[0, 1]} D(x) \mathrm{d}x = 0.$$

这样的积分具有线性性质，此外还有

设$\{ E_k \}$是$\R^n$上的递增可测集列，$f(x)$是$\R^n$上的非负简单函数，那么有

$$(L) \int_{\bigcup_{k=1}^\infty E_k} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} (L) \int_{E_k} f(x) \mathrm{d}x.$$

非负可测函数

我们知道，非负可测函数可以用非负简单函数列的极限来刻画，因此很自然的我们就想到用非负简单函数列来定义非负可测函数的积分。

这里我们采用确界来定义：设$f(x)$是$\R^n$上的非负可测函数，$E$是$\R^n$的可测子集，我们定义它的 Lebesgue 积分是

$$(L) \int_E f(x) \mathrm{d}x = \sup_{\overset{h(x) \leqslant f(x)}{\underset{x \in E}{}}} \left\{ (L) \int_E h(x) \mathrm{d}x \right\}.$$

其中，$h(x)$取遍所有满足下确界条件的非负简单函数。

当上述积分为有限值时我们就说$f(x)$在$E$上是 Lebesgue 可积的。满足该可积性质的函数必须在$E$上是几乎处处有限的。

性质

（渐升积分定理）设有定义在$E$上的非负可测函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$满足

$$f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_n(x) \leqslant \cdots, \forall x \in E.$$

且$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \forall x \in E.$那么

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x = (L) \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

即极限号可以和积分号交换次序。

（线性性质）设$f(x), g(x)$在$E$上非负可测，且$a, b \geqslant 0$，那么有

$$(L) \int_E (af(x) + bg(x)) \mathrm{d}x = a(L) \int_E f(x) \mathrm{d}x + b (L)\int_E g(x) \mathrm{d}x.$$

不难将它推广到有限和上去，

（逐项积分）设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E$上的非负可测函数列，那么

$$(L) \int_E \sum_{k=1}^\infty f_k(x) \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x.$$

由此可以推得积分关于积分区域的可列可加性。

（积分关于积分区域的可列可加性）设$f(x)$在$E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$上可积，且$E_k$可测，$E_k \cap E_j = \varnothing, k,j \in \N^+.$那么

$$(L) \int_E f(x) \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty (L) \int_{E_k} f(x) \mathrm{d}x.$$

（Fatou 引理）略。其他一些相关性质见 Levi 积分定理。

等价刻画

像 Riemann 积分划分定义域那样，我们可以用划分值域的语言来描述 Lebesgue 积分，详见 Lebesgue 积分。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.