非线性映射

非线性映射是一类线性空间之间的未必满足线性性质的映射，有限维空间之间的非线性映射就是多元的向量值函数，这里主要介绍（尤其是无穷维）赋范线性空间之间的非线性映射。

注意我们虽然说这里讨论的重点是“非线性”的映射，但它只是“线性”的推广，很多性质对线性映射也是成立的。映到实数或复数域的非线性映射称为非线性泛函。

连续性和有界性

我们称赋范线性空间$X, Y$之间的一个映射$f$是$U \subset X$上有界的，是指它将$U$中的有界集映为$Y$中的有界集，称$f$在$x_0 \in X$处是连续的，是指对任意$\varepsilon > 0$存在$\delta$使得当$\|x-x_{0}\|_{X}<\delta$的时候有$\|f(x)-f(x_{0})\|_{Y}<\varepsilon .$，我们称$f$在$X$的一个子集$U$上连续是指$f$在$U$中的每一点处均连续。

由于$X, Y$是度量空间，上述连续性的等价定义包含序列语言（映任意收敛列为收敛列）和拓扑语言（开集之原象是开集）。

在$f$是线性映射的时候我们知道有界性等价于连续性，但是对于非线性映射，这可能不成立。

定义$X=l^{2}$上的如下泛函

$$f(x)=\sum _{|x_{i}|\geqslant 1}(|x_{i}|-1)i,$$

它是连续的但是在$\{x\in l^{2}:\|x\|\leqslant 2\}$上无界。

紧性

我们知道有限维赋范线性空间中有界闭集是紧集，于是很多对泛函极值问题的研究可以很简单，但是对于无穷维空间而言就不一样了，例如

定义$f:l^{2}\to \mathbb {R}$为

$$f(x)=\|(1-\|x\|),x_{1},x_{2}/2,x_{3}/3,\cdots )\|$$

它是连续且一致连续的泛函，但是在$B=\{x\in l^{2}:\|x\|\leqslant 1\}$上没有达到下确界零的点。

紧性的丧失使得我们无法对强制性泛函的极小化序列做出一些更精确的收敛性行为分析，这个时候就需要添加一些条件，有两种方式找回紧性，一种是对空间添加条件，例如寻求各种可用的紧嵌入定理，另外一种是对泛函添加条件，例如要求算子把有界集映为相对紧集，即紧算子。

对于泛函而言，我们还可以添加弱序列连续性的要求来获得某种收敛极小化序列的存在性，参见 Dirichlet 原理，这是变分学的直接方法。

可微性

对一个非线性映射（尤其是非线性泛函）可以定义它的方向导数和全微分概念，类似有限维空间，分别是 Gateaux 导数和 Frechet 导数。这两类导数在变分学中经常被使用，是研究变分问题的基本概念。当然也可以推广到高阶导数，参见 Frechet 导数/高阶导数，对于可微性质十分好的映射有 Taylor 公式，也可参见 Frechet 导数/高阶导数。

参考资料

1. 钟承奎, 范先令, 陈文塬, 《非线性泛函分析引论》, 兰州大学出版社, 2004-07, ISBN 978-7-3110-1332-5.