非中心 F 分布

F 分布的推导过程中变量是标准的 χ² 分布，当分子变量不是标准的而是非中心 χ² 分布时会引出非中心 F 分布。

概念

设正态随机变量$X \sim \chi^2_{m, \delta}, Y \sim \chi^2_n$相互独立，则称随机变量 $$Z = \dfrac{X/m}{Y/n}$$ 的分布是自由度为$n$非中心参数为$\delta$的非中心 F 分布，记作$Z \sim F_{m, n; \delta}$，当$\delta = 0$时就是一般的 F 分布。

它的概率密度函数为 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{m^{\frac{n}{2}} n^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)} \text{e}^{-\frac{\delta^2}{2}} x^{\frac{m}{2}-1} \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty} \dfrac{\Gamma\left( \frac{m+n}{2} + k \right)}{\Gamma\left( \frac{m}{2} + k \right)} \dfrac{\delta^{2k} (mx)^k}{2^k k! (mx+n)^{\frac{m+n}{2}+k}}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$$

性质

1. 若$X \sim t_{n, \delta}$，则$X^2 \sim F_{1, n; \delta}.$
2. $F_{m, n; \delta}$的数学期望为$$\dfrac{n}{n-2} \dfrac{m+\delta}{m}, \quad n > 2.$$
3. $F_{m, n; \delta}$方差为$$\dfrac{2n^2\big[ (m+\delta^2)^2 + (n-2)(m+2\delta^2) \big]}{m^2(n-2)^2(n-4)}, \quad n > 4.$$
4. 给定$m, \delta$时$F_{m, n; \delta}$依分布收敛于$\chi^2_{m, \delta}/m.$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.