非中心 χ² 分布

χ² 分布的推导过程中变量是标准的正态分布，当变量不是标准的而是一般的正态分布时会引出非中心 χ² 分布。

概念

设正态随机变量$X_i$相互独立，且$X_i \sim N(a_i, 1)$，$a_i$不全为零时称随机变量$Y = \sum_{i=1}^n X_i^2$的分布是自由度为$n$的非中心 χ² 分布。$\delta = \sum_{i=1}^n a_i^2$称为非中心参数。记作$Y \sim \chi^2_{n, \delta}$，当$\delta = 0$时就是一般的 χ² 分布。

它的概率密度函数为 $$\begin{align} f(x) & = \begin{cases} \text{e}^{-\frac{\delta^2}{2}} \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty} \dfrac{\delta^{2k}}{2^k k!} \dfrac{x^{k+\frac{n}{2}-1}}{2^{k+\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2}+k)} \text{e}^{-\frac{x}{2}}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases} \\ & = \begin{cases} \text{e}^{-\frac{\delta^2}{2}} \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty} \dfrac{\delta^{2k}}{2^k k!} \chi^2(x, n+2k), & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}\end{align}$$

性质

1. $\chi^2_{n, \delta}$的数学期望为$n + \delta^2$，方差为$2n+4\delta^2.$
2. $\chi^2_{n, \delta}$的特征函数为$\varphi(x) = (1-2\text{i}t)^{-\frac{n}{2}} \text{e}^{-\frac{\text{i}\delta^2t}{1-2\text{i}t}}.$
3. （可加性）若$\{ Y_k \}_{k=1}^n$是相互独立的随机变量，且$Y_k \sim \chi^2_{n_k, \delta_k}$，那么$Z = \sum_{k=1}^n Y_k \sim \chi^2_{n, \delta}$，其中$n = \sum_{k=1}^n n_k, \delta = \sqrt{\sum_{k=1}^n \delta_k^2}.$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.