零元

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零元的概念給自下面的表述：

• 若 $\exists \theta_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, \theta_l \circ x = \theta$，稱 $\theta_l$ 為運算 $\circ$ 的左零元；
• 若 $\exists \theta_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ \theta_r = \theta$，稱 $\theta_r$ 為運算 $\circ$ 的右零元；
• 當 $\theta_l = \theta_r$ 時，稱其為運算 $\circ$ 的零元，可見一個運算有零元還可表述為該運算滿足交換律且存在左（或右）零元。

零元的唯一性定理：

設 $\circ$ 為 $\mathbf{S}$ 上的二元運算，$\theta_l$ 和 $\theta_r$ 分別為 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的左零元和右零元，則$\theta_l = \theta_r = \theta$為 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的唯一零元。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裡以顯示/摺疊

證明和單位元是類似的：$\because \theta_l = \theta_l \circ \theta_r = \theta_r$

$\therefore \theta_l = \theta_r$ 將這個零元記為$\theta$.假設$\theta'$也是$\circ$的一個零元，則有
$\theta' = \theta' \circ \theta = \theta.$

唯一性得證。