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零元的概念给自下面的表述:

  • ,称 为运算 的左零元;
  • ,称 为运算 的右零元;
  • 时,称其为运算 的零元,可见一个运算有零元还可表述为该运算满足交换律且存在左(或右)零元。

零元的唯一性定理:

上的二元运算, 分别为 中关于运算 的左零元和右零元,则 中关于运算 的唯一零元。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
证明和单位元是类似的:

将这个零元记为.假设也是的一个零元,则有

唯一性得证。
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