集合系

集合系是一个非空集合的一些子集的全体，在测度论中测度的公理化就是基于各种特殊集合系给出的。

假设有非空集合$X$，它的一些子集构成的全体称为集合系，它是幂集$2^X$的子集。集合系中的集合也称为这个集合系的元素。

代数相关的集合系

π系

如果集合$X$上的非空集合系$\mathcal{P}$对集合交运算是封闭的，即

$\forall A, B \in \mathcal{P}, A \cap B \in \mathcal{P}.$

我们就称$\mathcal{P}$是$X$上的π系。

半环

如果$X$上的π系$\mathcal{D}$中的差集是有限个元素的并集，即

$\forall A, B \in \mathcal{D}, A \subset B$都存在$\{ C_i \}_{i=1}^n$使得$B \setminus A = \bigcup_{i=1}^n C_i.$

我们就称$\mathcal{D}$是$X$上的半环，或称半代数。

半环中一定有空集，这是因为$B \setminus B = \varnothing \in \mathcal{D}.$

环

如果$X$上的集合系$\mathcal{R}$对并和差运算封闭，即

1. $\forall A, B \in \mathcal{R}, A \cap B = \mathcal{R}.$
2. $\forall A, B \in \mathcal{R}, A \subset B$都有$B \setminus A \in \mathcal{R}.$

我们就称$\mathcal{R}$是$X$上的环，环一定是半环。

这里环的概念和代数上的 Bool 环有关系。

有限集的幂集是环。

域

对补运算封闭的π系$\mathcal{F}$称为域，即

$\forall A \in \mathcal{F}, \overline{A} \in \mathcal{F}.$

域的名称也是来源于代数学，域一定是环。在测度论中，域也称为代数。

以上所有集合系都是考虑的有限集合运算，下面的极限相关的集合系对研究测度是必不可少的。

极限相关的集合系

单调系

如果集合系$\mathcal{M}$的任意单调集合序列的极限集都在该集合系中，我们就说$\mathcal{M}$是单调系，即

1. $\forall \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{M}, A_i \subset A_{i+1}$都有$\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{M}.$
2. $\forall \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{M}, A_i \supset A_{i+1}$都有$\bigcap_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{M}.$

λ系

满足如下三个条件的$X$上的集合系$\mathcal{L}$称为λ系：

1. $X \in \mathcal{L}.$
2. $\forall A, B \in \mathcal{L}, A \subset B$都有$B \setminus A \in \mathcal{L}.$
3. $\forall \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{L}, A_i \subset A_{i+1}$都有$\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{L}.$

可以证明λ系是单调系。

σ环

满足如下两个条件的$X$上的集合系$\mathcal{R}$称为σ环：

1. $\forall A \in \mathcal{R}$都有补集$\overline{A} \in \mathcal{R}.$
2. $\forall \{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{R}$都有$\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{R}.$

σ环是环，一个对可列并运算封闭的环是σ环。

σ域

包含全集$X$的σ环是σ域。σ域是λ系，也是代数，因此也称 σ-代数。

我们比较感兴趣的是$X$上的σ域，它有两种构造方法：

1. 同时是单调系和域的集合系是σ域。
2. 同时是λ系和π系的集合系是σ域。

生成

集合系的生成是由简单集合系生成复杂集合系的手段，这里生成总是有一个最小性存在：假设$\mathcal{E}$是一个集合系，它生成的π系$\mathcal{P}$（或半环、环、域、单调系等）是指满足如下两个条件的π系（或半环、环、域、单调系等）：

1. 作为集合，$\mathcal{E} \subset \mathcal{P}.$
2. 对任意包含了$\mathcal{E}$的π系（或半环、环、域、单调系等）$\mathcal{P}'$都有$\mathcal{P} \subset \mathcal{P}'.$

可以证明，上述生成的π系（或半环、环、域、单调系等）均存在，但并非唯一。一个集合系$\mathcal{P}$生成的σ域、单调系、环和λ系分别记为$\sigma(\mathcal{P}), m(\mathcal{P}), r(\mathcal{P}), l(\mathcal{P}).$

对于一个半环$\mathcal{D}$，它生成的环$\mathcal{R}$有如下刻画： $$\mathcal{R} = \bigcup_{i=1}^\infty \Bigg\{ \bigcup_{k=1}^n A_k\Bigg\}.$$ 其中$\{ A_k \}_{k=1}^n \subset \mathcal{D}$两两不交。

此外，

1. 域生成的单调系就是这个域生成的σ域，这等价于假设有域$\mathcal{A}$和单调系$\mathcal{M}$，如果$\mathcal{A} \subset \mathcal{M}$，那么就有$\sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{M}.$
2. π系生成的λ系就是这个π系生成的σ域，这等价于假设有π系$\mathcal{P}$和λ系$\mathcal{L}$，如果$\mathcal{P} \subset \mathcal{L}$，那么就有$l(\mathcal{P}) \subset \mathcal{L}.$

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.