集合的勢

在集合論中，集合的勢（power of a set）是表徵集合中元素「多少」的一個概念。關於無限集合之間數量的精確關係，詳見基數。

有限集

一個集合$A$中的元素如果是有限個，我們就稱該集合$A$是有限集，它的元素數量用$|A|$來表示。這時集合$A$的勢就是$|A|.$兩個有限集等勢當且僅當它們的元素同樣多。此時有限集可用數學語言$|A| < \infty$表示。

有限集$A$的冪集$2^A$的勢為$|2^A| = 2^{|A|}.$

設$A, B$為有限集，記$B^A$為全體由$A$到$B$的映射的集合，那麼$|B^A| = |B|^{|A|}.$

無限集

無限集的元素多少是用集合間的映射來比較的，這是 Cantor 提出的集合大小比較方法。

兩個集合之間如果存在一個雙射，我們就稱這兩個集合等勢（cardinal equivalence）。減去或加上有限個元素，不改變無限集合的勢，兩個集合的等勢是一種等價關係。

自然數集的勢為阿列夫（aleph）零，記作$|\N| = \aleph_0$，也稱為第一級無窮大，和自然數集合等勢的集合稱為可數集或可列集（countable set）。偶數集、整數集$\mathbb{N}$，有理數集$\mathbb{Q}$都是可列集。可列個集合的並依然可列，有限個可列集的笛卡爾積依然可列。

實數集$\R$不是可列集。但是$[0,1]$上的實數可以和自然數集的冪集建立一個一一對應，這只需要考慮實數的二進制展開即可，因此。$|\R| = |2^{\N^+}|$，而$[0,1]$上的實數和$(- \infty, + \infty)$可以藉助$f(x) = \tan \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\pi$建立一個一一對應，我們稱實數集的勢為連續統，記作$C$，由上$C = 2^{\aleph_0}.$

有限維 Euclid 空間中的點和實數集上的實數等勢。

Cantor-Bernstein 定理

若集合$X$和集合$Y$的某個真子集等勢，$Y$和$X$的某個真子集等勢，那麼$X$和$Y$等勢。

特別地，若集合$A, B, C$滿足$A \subset B \subset C$，且$A$和$C$等勢，那麼$A, B, C$均等勢。