集合的势

在集合论中，集合的势（power of a set）是表征集合中元素“多少”的一个概念。关于无限集合之间数量的精确关系，详见基数。

有限集

一个集合$A$中的元素如果是有限个，我们就称该集合$A$是有限集，它的元素数量用$|A|$来表示。这时集合$A$的势就是$|A|.$两个有限集等势当且仅当它们的元素同样多。此时有限集可用数学语言$|A| < \infty$表示。

有限集$A$的幂集$2^A$的势为$|2^A| = 2^{|A|}.$

设$A, B$为有限集，记$B^A$为全体由$A$到$B$的映射的集合，那么$|B^A| = |B|^{|A|}.$

无限集

无限集的元素多少是用集合间的映射来比较的，这是 Cantor 提出的集合大小比较方法。

两个集合之间如果存在一个双射，我们就称这两个集合等势（cardinal equivalence）。减去或加上有限个元素，不改变无限集合的势，两个集合的等势是一种等价关系。

自然数集的势为阿列夫（aleph）零，记作$|\N| = \aleph_0$，也称为第一级无穷大，和自然数集合等势的集合称为可数集或可列集（countable set）。偶数集、整数集$\mathbb{N}$，有理数集$\mathbb{Q}$都是可列集。可列个集合的并依然可列，有限个可列集的笛卡尔积依然可列。

实数集$\R$不是可列集。但是$[0,1]$上的实数可以和自然数集的幂集建立一个一一对应，这只需要考虑实数的二进制展开即可，因此。$|\R| = |2^{\N^+}|$，而$[0,1]$上的实数和$(- \infty, + \infty)$可以借助$f(x) = \tan \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\pi$建立一个一一对应，我们称实数集的势为连续统，记作$C$，由上$C = 2^{\aleph_0}.$

有限维 Euclid 空间中的点和实数集上的实数等势。

Cantor-Bernstein 定理

若集合$X$和集合$Y$的某个真子集等势，$Y$和$X$的某个真子集等势，那么$X$和$Y$等势。

特别地，若集合$A, B, C$满足$A \subset B \subset C$，且$A$和$C$等势，那么$A, B, C$均等势。