在集合论的公理化定义中,为了像数学分析那样研究极限以及连续性问题,我们需要引入像集合那样的集合序列的极限的概念。
集合序列[]
设有集合序列满足
我们就说集合序列
是单调递增的,并称并集
为该序列的极限集,记作
同样,如果集合序列满足
我们就说集合序列
是单调递减的,并称交集
为该序列的极限集,记作
上下极限[]
对于任意的一个集合,它一般不具有单调性,但是它的后几项集合组成的并集和交集形成的序列有单调性,我们利用这一点来定义集合序列的上下极限,类比于数列上的上下极限。
设有集合序列,做记号,显然是单调递增的集合序列,因此定义
为
的下限集。
设有集合序列,做记号,显然是单调递减的集合序列,因此定义
为
的上限集。
若一个集合序列的上下限集相等,我们就称该集合的极限存在,并记
性质[]
集合序列的上下限集还可用如下文字做等价定义:
上限集对并、下限集对交运算兼容,这是说:
上下限集对补集是相互兼容的,这是说: