集合序列

在集合论的公理化定义中，为了像数学分析那样研究极限以及连续性问题，我们需要引入像集合那样的集合序列的极限的概念。

集合序列

设有集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$满足

$$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_n \subset \cdots$$

我们就说集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$是单调递增的，并称并集$\bigcup_{i=1}^\infty A_i$为该序列的极限集，记作$\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n.$

同样，如果集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$满足

$$A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots$$

我们就说集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$是单调递减的，并称交集$\bigcap_{i=1}^\infty A_i$为该序列的极限集，记作$\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{i=1}^\infty A_i.$

上下极限

对于任意的一个集合，它一般不具有单调性，但是它的后几项集合组成的并集和交集形成的序列有单调性，我们利用这一点来定义集合序列的上下极限，类比于数列上的上下极限。

设有集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$，做记号$B_j = \bigcap_{k=j}^\infty A_k, j \in \N^+$，显然$\{ B_j \}_{j=1}^\infty$是单调递增的集合序列，因此定义

$$\liminf_{k \to \infty} A_k := \lim_{k \to \infty} B_k = \bigcup_{j=1}^\infty \bigcap_{k=j}^\infty A_k.$$

为$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$的下限集。

设有集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$，做记号$C_j = \bigcup_{k=j}^\infty A_k, j \in \N^+$，显然$\{ C_j \}_{j=1}^\infty$是单调递减的集合序列，因此定义

$$\limsup_{k \to \infty} A_k := \lim_{k \to \infty} C_k = \bigcap_{j=1}^\infty \bigcup_{k=j}^\infty A_k.$$

为$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$的上限集。

若一个集合序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$的上下限集相等，我们就称该集合的极限存在，并记

$$\lim_{k \to \infty} A_k = \limsup_{k \to \infty} A_k = \liminf_{k \to \infty} A_k.$$

性质

集合序列的上下限集还可用如下文字做等价定义：

• $\limsup_{k \to \infty} A_k = \{ x: \forall j \in \N^+, \exists k \geqslant j, x \in A_k \};$
• $\liminf_{k \to \infty} A_k = \{ x: \exists j_0 \in \N^+, \forall k \geqslant j_0, x \in A_k \}.$

上限集对并、下限集对交运算兼容，这是说：

• $\left( \limsup_{k \to \infty} A_k \right) \bigcup \left( \limsup_{k \to \infty} B_k \right) = \limsup_{k \to \infty} (A_k \cup B_k);$
• $\left( \liminf_{k \to \infty} A_k \right) \bigcap \left( \liminf_{k \to \infty} B_k \right) = \liminf_{k \to \infty} (A_k \cap B_k).$

上下限集对补集是相互兼容的，这是说：

• $\overline{\limsup_{k \to \infty} A_k} = \liminf_{k \to \infty} \overline{A_k};$
• $\overline{\liminf_{k \to \infty} A_k} = \limsup_{k \to \infty} \overline{A_k}.$