集合

在原始的定义上，集合（set）就是指包含「一堆东西」的「东西」，一个集合里的东西称为「元素」，也是集合论的研究对象。然而随着对集合论和逻辑的研究，一些根据此概念而来的悖论也因应而生，像 Russell 悖论，因此有人便发展了公理系统，图以严谨的方式重新定义所谓的集合为何物。

表示记号

集合一般使用大写英文字字母表示，集合的表示方法有两种：一种是直接列出所有元素，并用大括号包围起来，如$S = \{ 1,2,3 \}$表示由数字1，2，3组成的一个集合，$S = \{ (1,1), (0,2) \}$表示由点$(1,1), (0,2)$组成的一个集合。

另一种表示是规定元素具有的某种性质所表示的集合，如$S = \{ n^2| n = 1,2,\cdots \}$就表示平方数构成的集合。

数集

集合中元素全是数字的集合，称为数集。对于常见的一些数集，有一些约定俗成的记号，如

1. 正整数集：$\N^+ = \{1,2,3,\cdots \};$
2. 非负整数集：$\N = \{0,1,2,\cdots\};$
3. 整数集：$\Z = \{0,\pm1,\pm2,\cdots\};$
4. 有理数集：$\Q = \left\{ \dfrac{p}{q} | (p,q) = 1, p,q \in \N, q>0 \right\};$
5. 实数集：$\R;$
6. 复数集：$\C = \{a+\text{i}b|a,b\in\R,\text{i}^2 = -1\};$
7. 正实数集：$\R^+ = (0, \infty).$
8. 四元数集：$\mathbb{Q} = \{ x + y\text{j} | x,y \in \C, \text{j} \ne \pm \text{i}, \text{j}^2 = -1 \}.$

继续推广还有八元数集$\mathbb{O}$等等。

集合的关系

属于关系

一个元素$a$如果在集合$S$中，记作$a \in S$，如果不在集合$S$中记作$a \notin S$或$a \overline{\in} S.$

包含关系

对两个集合$S$和$T$，如果$\forall x \in S, x \in T$，我们就说集合$S$含于$T$，或$T$包含$S$，记作$S \subseteq T$或$T \supseteq S$，同时我们称$S$是$T$的子集（subset）；如果$S \subseteq T, T\subseteq S$，我们就说这两个集合相等，记作$S = T$，反之称作不相等，记作$S \neq T$，相等的集合具有相同的元素。

如果$S \subseteq T$但$S \neq T$，我们说$T$真包含$S$，记作$S \subset T, T \supset S$，或$S \subsetneqq T, T \supsetneqq S$，同时我们称$S$是$T$的真子集（proper subset）。

如果一个集合中没有任何元素，就是该集合是一个空集（empty set），记作$\varnothing, \emptyset.$空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

幂关系

由集合$S$的所有子集（含空集）所构成的集合，叫作$S$的幂集（power set），记作$2^S$，如$S = \{ 0,1,2 \}$的幂集是

$$2^S = \{ \varnothing, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0,1\}, \{0,2\}, \{1,2\}, \{0,1,2\} \}.$$

一个元素个数$n$有限的集合，它的幂集的元素也是有限的，且为$2^n$个。无限集合的幂集元素个数也是无限。

集合的运算

以下设选定一个全集$\mathit{\Omega}$，且考虑的所有元素都属于这个全集。

1. 并集：$A \cup B = \{ x \in \mathit\Omega | x \in A, \text{or } x \in B \};$
2. 交集：$A \cap B = \{ x \in \mathit\Omega | x \in A, \text{and } x \in B \};$
3. 差集：$A \setminus B = A - B = \{ x \in \mathit\Omega | x \in A, \text{and } x \notin B \};$
4. 补集（余集）：$\complement_{\mathit\Omega} A = \mathit\Omega - A = \{ x | x \in \mathit\Omega, \text{and } x \notin A \};$
5. 对称差：$A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B).$

作差集运算时不必要求$B$含于$A.$

运算律

1. 幂等律：$A \cap A = A \cup A = A;$
2. 交换律：$A \cap B = B \cap A, A \cup B = B \cup A;$
3. 结合律：$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C), (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C);$
4. 分配律：$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C), A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C);$
5. 吸收律：$A \cap (A \cup B) = A \cup (A \cap B) = A;$
6. 模律：若$A \subseteq B$，则$A \cup (B \cap C) = (A \cup C) \cap B;$
7. 得摩根律：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B};$
8. 双余性：$\overline{(\overline{A})} = A.$

不难将它们推广到有限个集合的运算场合去。在格论中，满足上面这些性质的格在同构的意义下只有集合满足。