隐函数求导法

在数学分析中，某些函数是通过一个关系式确定的，即隐函数，这里介绍隐函数求导的方法。

一元函数

如果方程$F(x, y) = 0$能确定一个函数$y = \varphi(x)$，那么可将原方程的$y(x)$作为$x$的函数再求导，如$x^2 + y^2 = 1$，对$x$求导，有$2x + 2yy_x = 0$，解之有$y_x = -\dfrac{x}{y}.$

表达式中含有因变量是可以被接受的，因为有时可能从原方程中解不出因变量。

多元函数由一个方程确定

如果方程$F(x, y, z) = 0$确定了一个二元函数$z = \varphi(x, y)$，那么方程两边同时对$x$求偏导，将$y$视作常数，$z(x)$视作$x$的函数，即有$F_x + F_z z_x = 0$，解出$z_x = - \dfrac{F_x}{F_z}.$同理$z_y = - \dfrac{F_y}{F_z}.$

不难将它推广到$d$元函数的情形。

例如方程$\dfrac{x^2}{2p} - \dfrac{z^2}{2q} = y$确定的$z = f(x, y)$。

1. 两边对$x$求偏导，有$\dfrac{x}{p} - \dfrac{zz_x}{q} = 0$，即$z_x = \dfrac{qx}{pz};$
2. 两边对$y$求偏导，有$0 - \dfrac{zz_y}{q} = 1$，即$z_y = - \dfrac{q}{z}.$

抽象参数方程的情形

设

$$F(u, v, w) = 0, \quad u = u(x, y, z), \quad v = v(x, y, z), \quad w = w(x, y, z)$$

可以确定一个二元函数$z = f(x, y)$，那么两边对$x$求偏导，有$F_1 \cdot u_x + F_2 \cdot v_x + F_3 \cdot w_x = 0$，要注意$z$是$x, y$的函数。

例如$F(xyz, x+z, y+z) = 0$，两边对$x$求偏导，有

$$F_{1}\cdot (yz+xyz_{x})+F_{2}\cdot (1+z_{x})+F_{3}\cdot z_{x}=0$$

即$z_x = - \dfrac{yzF_1 + F_2}{xyF_1 + F_2 + F_3}.$
如果要求二阶偏导$z_{xx}$，只需对式#A1两端再对$x$求偏导，注意此时$F_1, F_2, F_3$还是$(xyz), (x+z), (y+z)$的函数，即间接变量$x, y, z$的复合函数。即有

$$\begin{align} &~\quad [F_{11} \cdot (yz+xyz_x) + F_{12} \cdot (1+z_x) + F_{13} \cdot z_x] \cdot (yz+xyz_x) + F_1 \cdot (yz_x + yz_x + xyz_{xx}) \\ & + [F_{21} \cdot (yz+xyz_x) + F_{22} \cdot (1+z_x) + F_{23} \cdot z_x] \cdot (1+z_x) + F_2 \cdot z_{xx} \\ & + [F_{31} \cdot (yz+xyz_x) + F_{32} \cdot (1+z_x) + F_{33} \cdot z_x] \cdot z_x + F_3 \cdot z_{xx} = 0. \end{align}$$

代入$z_x$，由以上方程就可解出$z_{xx}$。

多元函数由方程组确定

两个曲面的交线形成的曲线的偏导数：设有方程组

$$\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}$$

确定的曲线，它的偏导数求法如下，设自由变量是$x$，$y,z$是关于$x$的函数$y(x), z(x).$

两个式子同时对$x$求偏导，有

$$\begin{cases} F_1 + F_2 y_x + F_3 z_x = 0, \\ G_1 + G_2 y_x + G_3 z_x = 0. \end{cases}$$

上述是关于$y_x, z_x$的线性方程组，解之就可求得$y_x, z_x.$

不难将它推广到$m$个未知数由$n$个方程确定的空间中去。

上下节

• 上一节：全微分
• 下一节：方向导数

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.