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如果一个方程能够定义出唯一的单值可导函数,我们就说变元是由方程确定的隐函数

以下介绍的是有关有限维空间之间的映射的隐函数定理,关于一般赋范线性空间中的情形,参见隐函数定理

隐函数存在定理[]

二变元情形[]

在隐函数中最常用到的是形如的二变元方程,我们设满足下面的条件:

  1. 在区域偏导数连续;

我们可以断言:在点的某一个邻域唯一确定一个连续函数,且其在这个邻域内具有连续导数

多变元情形[]

上述结果可以推广到一般情形,我们设满足下面的条件:

  1. 的某个邻域内偏导数连续;

我们可以断言:在点的这个邻域内唯一确定一个连续函数,且其在这个邻域内具有对各变元的连续偏导数

方程组情形[]

设有向量值函数

满足:

  1. 各分量函数在点的某一个邻域内具有对一切变元的连续偏导数;

那么在点的这个邻域唯一确定一个向量值函数(即一组连续函数),且其在这个邻域内每个分量函数具有对变元的连续偏导数,它可以从下述线性方程组中解出:

或者,写成和以上两种简单情形形式类似的形式:
上述情形的一个特例是二元可逆的坐标变换(变量代换),例如极坐标变换,因此,研究特殊情形也是有意义的。设 Jacobi 行列式,且满足原函数方程组的前两个条件,那么由方程组确定的隐函数对变量的偏导数是

隐函数的极值[]

可以使用 Lagrange 乘数法对一个方程(组)确定的隐函数求极值,例如由方程确定的隐函数的极值问题可以转化为辅助函数的极值问题。

对于方程组的情形,例如由确定的二元隐函数的极值问题可以转化为求辅助函数的极值问题。

当然,有时也可通过直接求一阶偏导数(隐函数定理),由其梯度为零求得驻点,然后考虑二阶偏导数的矩阵正负定情况得出极值点。一般在函数形式比较整齐(变元的对称度高)的时候采用 Lagrange 乘数法。

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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