如果一个方程
能够定义出唯一的单值可导函数
,我们就说变元
是由方程
确定的隐函数。
以下介绍的是有关有限维空间之间的映射的隐函数定理,关于一般赋范线性空间中的情形,参见隐函数定理。
隐函数存在定理[]
二变元情形[]
在隐函数中最常用到的是形如
的二变元方程,我们设
满足下面的条件:
- 在区域
上偏导数
连续;


我们可以断言:在点
的某一个邻域内
唯一确定一个连续函数
,且其在这个邻域内具有连续导数

多变元情形[]
上述结果可以推广到一般情形,我们设
满足下面的条件:
- 在
的某个邻域内偏导数
连续;


我们可以断言:在点
的这个邻域内
唯一确定一个连续函数
,且其在这个邻域内具有对各变元的连续偏导数

方程组情形[]
设有向量值函数

满足:
- 各分量函数
在点
的某一个邻域内具有对一切变元的连续偏导数;


那么在点
的这个邻域内
唯一确定一个向量值函数(即一组连续函数)
,且其在这个邻域内每个分量函数
具有对变元
的连续偏导数,它可以从下述线性方程组中解出:

或者,写成和以上两种简单情形形式类似的形式:
![{\displaystyle D{\boldsymbol {f(x)}}=-[D_{y}{\boldsymbol {F(x,y)}}]^{-1}\cdot D_{x}{\boldsymbol {F(x,y)}}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/1403b88196d634729077cac4cbb607beec90f841)
上述情形的一个特例是二元可逆的坐标变换(变量代换),例如
极坐标变换

,因此,研究特殊情形

也是有意义的。设
Jacobi 行列式
,且满足原函数方程组的前两个条件,那么由方程组确定的隐函数

对变量

的偏导数是

隐函数的极值[]
可以使用 Lagrange 乘数法对一个方程(组)确定的隐函数求极值,例如由方程
确定的隐函数
的极值问题可以转化为辅助函数
的极值问题。
对于方程组的情形,例如由
确定的二元隐函数
的极值问题可以转化为求辅助函数
的极值问题。
当然,有时也可通过直接求一阶偏导数(隐函数定理),由其梯度为零求得驻点,然后考虑二阶偏导数的矩阵正负定情况得出极值点。一般在函数形式比较整齐(变元的对称度高)的时候采用 Lagrange 乘数法。
上下节[]
参考资料