隨機向量

在概率論中，隨機向量又稱多維隨機變量，是一維隨機變量的推廣，是研究多元概率分布的基礎。

概念

在隨機試驗中，一個事件的結果有時候不能用一個指標來表徵，這時就要引入隨機向量的概念：設隨機變量$X_i, i = 1,2,\cdots,d$定義在同一概率空間$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$上，那麼就稱$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_d)$為該概率空間上的$d$維隨機向量，在不引起混淆的情況下也叫它為一個隨機變量。

如果每個分量都是離散型隨機變量，我們就說該隨機向量是離散型的，常見的有多項分布和多元超幾何分布，他們是二項分布和超幾何分布的多元推廣；如果每個分量都是連續型隨機變量，我們就說該隨機向量是連續型的，常見的有均勻分布和多元正態分布，前者是幾何概型中變量服從的分布，後者是一元正態分布的推廣。

聯合分布函數

我們把下面的$d$元函數稱作該隨機向量的聯合分布函數 $$F(\boldsymbol{X}) = F(x_1, x_2, \cdots, x_d) = P \{ X_1 < x_1, X_2 < x_2, \cdots, X_d < x_d \}$$ 類似一元情形，聯合分布函數有性質

1. 單調性：關於每個變元都是單調不減函數；
2. 極限性質：$F(x_1, \cdots, -\infty, \cdots, x_d) = 0, F(+\infty, \cdots, +\infty) = 1;$
3. 左連續性：關於每個變元都是左連續的。

離散型的聯合分布列

對於離散性隨機向量，有聯合分布列的概念，以二元情形為例，設$X, Y$的所有可能取值分別為$x_i, y_i, i = 1,2,\cdots$則 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline (X, Y) & x_1 & x_2 & \cdots & x_i & \cdots \\ \hline y_1 & p(x_1, y_1) & p(x_2, y_1) & \cdots & p(x_i, y_1) & \cdots \\ y_2 & p(x_1, y_2) & p(x_2, y_2) & \cdots & p(x_i, y_2) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_i & p(x_1, y_i) & p(x_2, y_i) & \cdots & p(x_i, y_i) & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 滿足規範性 $$\sum_{i,j=1}^\infty p(x_i, y_j) = 1.$$

連續型的概率密度函數

類似於一維連續型隨機變量的情形，隨機向量的單點概率也是零，即 $$P \{ X = x_0, Y = y_0 \} = 0$$ 因此不能像離散型隨機向量那樣寫出分布列（正因如此在下面的定義中可以忽略邊界概率），因此需要引出密度函數的概念。

依然以二元情形為例，設隨機向量$(X,Y)$的聯合分布函數為 $$F(x, y) = P \{ X < x, Y < y \}$$ 那麼它是絕對連續的，$F(x, y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v$，我們把$f(u, v)$稱作該隨機向量的聯合概率密度函數，它滿足規範性 $$F(+\infty, +\infty) = \iint_{\R^2} f(u, v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v = 1.$$ 同時有 $P \{\boldsymbol{X} \in [a, b] \times [c, d] \} = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c) \geqslant 0$ 這個性質稱為2-增性，它可以推出二變元情形下的單調性，可以證明，一個二元函數如果滿足極限性質、左連續性以及2-增性，那麼它一定表示某個概率分布的分布函數。

連續型二維聯合概率分布函數和密度函數有關係 $$\dfrac{\partial F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)$$ 連續型的聯合概率函數對應的概率有幾何直觀解釋（對應曲頂柱體的體積） $$P \{ (X, Y) \in D \} = \iint_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma.$$

上下節

• 上一節：隨機變量的函數
• 下一節：邊緣分布

參考資料

1. 李賢平, 《概率論基礎（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.