随机向量的函数

概率论中，随机向量的函数是多元概率中研究的重要内容之一，使用它可以导出很多实用的分布。一元随机变量的函数是一个一维到一维的映射；随机向量的函数是一个多维到一维的映射；随机向量的变换是一个多维到多维的映射。

概念

给定一个$n$元随机向量$\boldsymbol{X}$，有一个$n$元博雷尔可测函数$g(\boldsymbol{x})$，我们称新的随机变量$Y = g(\boldsymbol{X})$为随机向量$\boldsymbol{X}$的函数。

设$\boldsymbol{X}$的联合密度函数为$f(\boldsymbol{x})$，则随机变量$Y$的分布函数是 $$F_Y (y) = P \{ g(\boldsymbol{X}) < y \} = \int \cdots \int_{g(\boldsymbol{x}) < y} f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d}x_1 \cdots \mathrm{d}x_n.$$ 在二维的情形，设$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2)$，上式就是 $$F_Y (y) = P \{ g(X_1, X_2) < y \} = \iint_{g(x_1, x_2) < y} f(x_1, x_2) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2.$$

和的卷积公式

设有随机向量$(X,Y)$及其联合密度函数$f(x, y)$，那么我们来讨论$Z = X + Y$的分布，由上式显然有 $$\begin{align} F_Z (z) & = \iint_{x + y < z} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \mathrm{d}y. \end{align}$$ 可以证明有如下卷积公式 $$\begin{align} f_Z (z) & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \mathrm{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d}x. \end{align}$$ 当$X, Y$相互独立时，即有$f(x, y) = f_X(x) f_Y (y)$，其中$f_X (x), f_Y (y)$分别是$X, Y$的边缘分布的概率密度函数，上式就是 $$\begin{align} f_Z (z) & = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (z-y) f_Y (y) \mathrm{d}y \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) f_Y (z-x) \mathrm{d}x. \end{align}$$

乘积与商的分布

设有随机向量$(X,Y)$及其联合密度函数$f(x, y)$，设$Z = XY$，当$X, Y$相互独立时$Z$的概率密度函数是 $$f_Z (z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (\frac{z}{t}) f_Y(t) \dfrac{1}{|t|} \mathrm{d}t.$$

设有随机向量$(X,Y)$及其联合密度函数$f(x, y)$，设$Z = \dfrac{X}{Y}$，那么可以证明$Z$的概率密度函数是 $$f_Z (z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(tz,t) |t| \mathrm{d}t.$$

随机向量的变换

对于$n$元随机向量$\boldsymbol{X}$，设有$\R^n \to \R^m$的向量值函数$\boldsymbol{g(x)}$（它的每个分量函数都是$n$元 Borel 函数），这样就得到一个新的随机向量$\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{g(X)}$，这就称作随机向量的变换，特别地，当$m= n$且$\boldsymbol{g(x)}$存在逆变换时随机向量的维数不变，这种变换具有很好的性质。

已知随机向量$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_n) \in S$的联合密度函数为$f_\boldsymbol{X} (x_1, x_2, \cdots, x_n)$，假设$\boldsymbol{g(x)}$对应的 Jacobi 行列式是$J = \dfrac{D(\boldsymbol{x})}{D(\boldsymbol{y})}$，它的逆变换为$\boldsymbol{h(y)} = (h_1(y_1, y_2, \cdots, y_n), h_2(y_1, y_2, \cdots, y_n), \cdots, h_n(y_1, y_2, \cdots, y_n))$，在$\boldsymbol{g(x)}$的作用下$\boldsymbol{X}$变为了$\boldsymbol{Y} = (Y_1, Y_2, \cdots, Y_n) \in \boldsymbol{g}(S)$，这样我们可以写出随机向量$\boldsymbol{Y}$的联合密度函数是 $$f_\boldsymbol{Y} (\boldsymbol{y}) = \begin{cases} f_\boldsymbol{X}(\boldsymbol{h(y)}) |J| = f_\boldsymbol{X}(h_1(y_1, y_2, \cdots, y_n), \cdots, h_n(y_1, y_2, \cdots, y_n)) |J|, & \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{g}(S), \\ 0, & \boldsymbol{y} \notin \boldsymbol{g}(S). \end{cases}$$

相关应用

• 极差分布：多个具有相同概率分布函数和密度函数的相互独立的随机变量的极值所服从的分布；
• 自由度为$n$的$\chi^2$分布：可以理解为$n$个相互独立的标准正态分布的平方和；
• $F$分布：可以由$\chi^2$分布导出；
• $t$分布：可以由标准正态分布和$\chi^2$分布导出；
• Rayleigh 分布：两个服从标准正态分布的独立变量从直角形式向极坐标形式转化时会出现的分布。

上下节

• 上一节：边缘分布
• 下一节：顺序统计量

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.