随机向量

在概率论中，随机向量又称多维随机变量，是一维随机变量的推广，是研究多元概率分布的基础。

概念

在随机试验中，一个事件的结果有时候不能用一个指标来表征，这时就要引入随机向量的概念：设随机变量$X_i, i = 1,2,\cdots,d$定义在同一概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$上，那么就称$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_d)$为该概率空间上的$d$维随机向量，在不引起混淆的情况下也叫它为一个随机变量。

如果每个分量都是离散型随机变量，我们就说该随机向量是离散型的，常见的有多项分布和多元超几何分布，他们是二项分布和超几何分布的多元推广；如果每个分量都是连续型随机变量，我们就说该随机向量是连续型的，常见的有均匀分布和多元正态分布，前者是几何概型中变量服从的分布，后者是一元正态分布的推广。

联合分布函数

我们把下面的$d$元函数称作该随机向量的联合分布函数 $$F(\boldsymbol{X}) = F(x_1, x_2, \cdots, x_d) = P \{ X_1 < x_1, X_2 < x_2, \cdots, X_d < x_d \}$$ 类似一元情形，联合分布函数有性质

1. 单调性：关于每个变元都是单调不减函数；
2. 极限性质：$F(x_1, \cdots, -\infty, \cdots, x_d) = 0, F(+\infty, \cdots, +\infty) = 1;$
3. 左连续性：关于每个变元都是左连续的。

离散型的联合分布列

对于离散性随机向量，有联合分布列的概念，以二元情形为例，设$X, Y$的所有可能取值分别为$x_i, y_i, i = 1,2,\cdots$则 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline (X, Y) & x_1 & x_2 & \cdots & x_i & \cdots \\ \hline y_1 & p(x_1, y_1) & p(x_2, y_1) & \cdots & p(x_i, y_1) & \cdots \\ y_2 & p(x_1, y_2) & p(x_2, y_2) & \cdots & p(x_i, y_2) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_i & p(x_1, y_i) & p(x_2, y_i) & \cdots & p(x_i, y_i) & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 满足规范性 $$\sum_{i,j=1}^\infty p(x_i, y_j) = 1.$$

连续型的概率密度函数

类似于一维连续型随机变量的情形，随机向量的单点概率也是零，即 $$P \{ X = x_0, Y = y_0 \} = 0$$ 因此不能像离散型随机向量那样写出分布列（正因如此在下面的定义中可以忽略边界概率），因此需要引出密度函数的概念。

依然以二元情形为例，设随机向量$(X,Y)$的联合分布函数为 $$F(x, y) = P \{ X < x, Y < y \}$$ 那么它是绝对连续的，$F(x, y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v$，我们把$f(u, v)$称作该随机向量的联合概率密度函数，它满足规范性 $$F(+\infty, +\infty) = \iint_{\R^2} f(u, v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v = 1.$$ 同时有 $P \{\boldsymbol{X} \in [a, b] \times [c, d] \} = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c) \geqslant 0$ 这个性质称为2-增性，它可以推出二变元情形下的单调性，可以证明，一个二元函数如果满足极限性质、左连续性以及2-增性，那么它一定表示某个概率分布的分布函数。

连续型二维联合概率分布函数和密度函数有关系 $$\dfrac{\partial F(x, y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)$$ 连续型的联合概率函数对应的概率有几何直观解释（对应曲顶柱体的体积） $$P \{ (X, Y) \in D \} = \iint_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma.$$

上下节

• 上一节：随机变量的函数
• 下一节：边缘分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.