随机变量的独立性

概率论中，仿照事件间的独立性那样，我们可以引入随机变量的独立性概念。

定义

我们先引入有限个随机变量相互独立的概念，设有随机变量$X_1, X_2, \cdots, X_d$，如果成立下式 $$P \{ X_1 < x_1, X_2 < x_2, \cdots, X_d < x_d \} = P \{ X_1 < x_1 \} P \{ X_2 < x_2 \} \cdots P \{ X_d < x_d\} \quad \forall x_1, x_2, \cdots, x_d \in \R$$ 我们就说随机变量$X_1, X_2, \cdots, X_d$相互独立。

无穷个随机变量相互独立，是指其中任意有限个随机变量是相互独立的。

等价刻画

设随机向量$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_d)$的联合概率分布函数为$F(\boldsymbol{X})$，各分量$X_i$的分布函数为$F_{X_i} (x_i)$，上述定义等价于 $$F(\boldsymbol{X}) = \prod_{i=1}^d F_{X_i} (x_i), \quad \forall \boldsymbol{X} \in \R^d.$$ 设连续型随机向量$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_d)$的联合概率密度函数为$f(\boldsymbol{X})$，各分量$X_i$的密度函数为$f_{X_i} (x_i)$，上述定义也等价于 $$f(\boldsymbol{X}) = \prod_{i=1}^d f_{X_i} (x_i), \quad \forall \boldsymbol{X} \in \R^d - \Epsilon.$$ 其中$\Epsilon$至多是一个零测集。

随机变量函数的独立性

设$f_1 (x), f_2 (x), \cdots, f_d (x)$为一元博雷尔函数，且随机变量$X_1, X_2, \cdots, X_d$是相互独立的，那么可得$Y_1 = f_1 (X_1), Y_2 = f_2 (X_2), \cdots, Y_d = f_d (X_d)$也是相互独立的随机变量。

上下节

• 上一节：条件分布
• 下一节：随机向量的函数

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.