随机变量的函数

在概率论中有时候我们需要研究与一个随机变量$X$的相关的随机变量$Y$的分布律，它们有关系$Y = g(X)$。

概念

设$g(x)$是一个一维 Borel 可测函数，即对任意的 Borel 点集$B \in \R^1$，都有 $$\{ x: g(x) \in B \} \in \mathcal{B}$$ 其中$\mathcal{B}$是实数集上的 Borel 点集全体。

设有随机变量$X$，它们有关系$Y = g(X)$，我们就说$g(x)$是一个随机变量$X$的函数，这样$Y$也是一个随机变量。

离散型情形

已知离散型随机变量$X$的分布列为 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_i & \cdots \\ \hline P & p(x_1) & p(x_2) & \cdots & p(x_i) & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 那么可以得到 $$\begin{array}{c|ccccc} \hline g(X) & g(x_1) & g(x_2) & \cdots & g(x_i) & \cdots \\ \hline P & p(x_1) & p(x_2) & \cdots & p(x_i) & \cdots \\ \hline \end{array}$$ 这时，我们仅需将相同的$g(x_i)$合并作为相应的$y_i$即可得到$Y$的分布列，进而就知道了$Y$的概率分布。

连续型情形

设两个连续型随机变量有关系$Y = g(X)$，$g(x)$是一维 Borel 可测函数，已知$X$的分布函数为$F_X (x)$，于是$Y$的分布函数 $$F_Y (y) = P \{ Y < y \} = P \{ g(X) < y \} = \int_{g(X) < y} f(x) \mathrm{d}x.$$ 当$g(x)$为单调或逐段单调时，上述问题十分容易处理，例如

1. 若$g(x)$单调上升，则有$F_Y (y) = P \{ g(X) < y \} = P \{ X < g^{-1} (y) \} = F(g^{-1}(y)).$
2. 若$g(x)$单调下降，则有$F_Y (y) = P \{ g(X) < y \} = P \{ X > g^{-1} (y) \} = 1-F(g^{-1}(y)).$
3. 若$g(x) = x^2$，则有$$F_Y (y) = \begin{cases} P \{ X^2 < y \} = P\{ -\sqrt{y} < X < \sqrt{y} \} = \displaystyle{\int_{-\sqrt{y}}^\sqrt{y}} f(x) \mathrm{d}x , & y \geqslant 0 \\ 0, & y < 0. \end{cases}$$进而密度函数$$f_Y (y) = F'_Y (y) = \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \displaystyle{\int_{-\sqrt{y}}^\sqrt{y}} f(x) \mathrm{d}x , & y \geqslant 0 \\ 0, & y < 0. \end{cases}$$上式中涉及到变上下限积分的求导。

相关不等式

• 对任意的两个随机变量$X, Y$，有

$$\begin{aligned} & P\left\{ X+Y \geqslant x\right\} \leqslant P\left\{ X \geqslant \dfrac{x}{2}\right\}+P\left\{ Y \geqslant \dfrac{x}{2}\right\} \\ & P\left\{|X+Y| \geqslant x\right\} \leqslant P\left\{|X| \geqslant \dfrac{x}{2}\right\}+P\left\{|Y| \geqslant \dfrac{x}{2}\right\} \\ \end{aligned}$$

以及

$$\begin{aligned} & \quad~ \left|P\left\{X<x_{1}, Y<y_{1}\right\}-P\left\{X<x_{2}, Y<y_{2}\right\}\right| \\ & \leqslant | P\left\{X<x_{1}\right\}-P\left\{X<x_{2}\right\} | + | P\left\{Y<y_{1}\right\}-P\left\{Y<y_{2}\right\} | \end{aligned}$$

• 对任意两个相互独立的随机变量$X, Y$，有

$$\begin{aligned} &P\left\{X+Y \leqslant x\right\} \geqslant P\left\{X \leqslant \dfrac{x}{2}\right\} P\left\{Y \leqslant \dfrac{x}{2}\right\} \\ &P\left\{|X+Y| \leqslant x\right\} \geqslant P\left\{|X| \leqslant \dfrac{x}{2}\right\} P\left\{|Y| \leqslant \dfrac{x}{2}\right\} \end{aligned}$$

$x$足够大时，有

$$P\left\{|X|>x\right\} \leqslant 2 P\left\{|X|>x,|Y|<\dfrac{x}{2}\right\} \leqslant 2 P\left\{|X+Y|>\dfrac{x}{2}\right\}$$

• 对任意两个独立同分布的随机变量$X, Y$以及正数$a$，有

$$P\left\{|X+Y| \leqslant a\right\} \leqslant 2 P\left\{|X-Y| \leqslant a\right\}.$$

拓展

• 随机向量的函数

上下节

• 上一节：随机变量
• 下一节：随机向量

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.