随机变量

在概率论的公理化定义中，为了研究随机事件之间的运算及数学关系，我们需要抽象出随机变量的概念。

概念

设一个概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$中，对任意样本点$\omega \in \mathit{\Omega}$，若存在一个从$\mathit{\Omega}$到$\R$的映射（不必是双射，可以多对一），对任意实数集上的 Borel 点集，都有 $$\{ \omega : X(\omega) \in B \}$$ 我们就称这样的一个映射$X(\omega)$为概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$上的一个随机变量。

随机变量是一个映射，但由于在很多情况下涉及到它的运算即复合函数，所以习惯上称为变量。

概率$P \{ \omega: X(\omega) \in B \}$常简写为$P \{ X \in B \}$称为概率分布。

分布函数及其性质

$$F(x) = P \{ X \leqslant x \}$$ 称为随机变量$X$的分布函数，简记为$X \sim F(x)$，进而它有性质

1. 任意区间的概率：$P \{ a \leqslant X < b \} = F(b) - F(a);$
2. 单调性：$F(a) \leqslant F(b), \forall a < b;$
3. 极限性质：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1;$
4. 左连续性：$F(x^-) = F(x);$
5. 单点概率：$P \{ X = x \} = F(x^+) - F(x);$
6. 结合1和3，有$\begin{align} P \{ X \leqslant x \} = F(x^+); \\ P \{ X \geqslant x \} = 1 - F(x); \\ P \{ X > x \} = 1 - F(x^+). \\ \end{align}$

实际上，一个实函数只要满足2、3、4，就可成为某个概率空间中的随机变量，证明从略。

另外，分布函数中定义也可改为$F(x) = P \{ X < x \}$，这时性质要稍加修改。

类型

由于概率空间有离散型和非离散型，所以随机变量也有离散型和非离散型。例如，有限概率空间（特例是古典概型）的随机变量是离散型的，样本点$\omega_i$的数量为有限个，这样可以用下式直接表示它的概率分布（常称为概率质量函数） $$P \{ X(\omega_i) = x_i \}, i = 1, 2, \cdots, n.$$ 可以将它推广到可列个的情形上去。离散型随机变量的分布函数，都是跳跃函数，即分段常数函数。

但是如果样本点不可列，那么随机变量就是非离散型随机变量，它最重要的一类就是连续型随机变量，注意：既不是离散也不是连续型的随机变量是存在的，非离散的随机变量不一定就是连续型。连续型随机变量要求随机变量的取值为某个 Borel 点集内的所有点，进而它可以延拓到整个实轴上去（仅需在无定义的点上取值为零即可），反映其概率分布的函数为概率分布函数 $$F(x) = P \{ X \leqslant x \}$$ 进而可以定义它的概率密度函数 $$f(x) = F'(x).$$

分布函数的分解

运用实变函数的相关结论，可以证明概率分布函数至多有可列个不连续点，且有分解式 $$F(x) = a_1 F_1(x) + a_2 F_2 (x) + a_3 F_3 (x)$$ 其中，$a_1,a_2,a_3$为实常数且$a_1 + a_2 + a_3 = 1$，$F_1(x)$为跳跃函数，$F_2 (x)$为绝对连续函数，$F_3 (x)$为奇异函数。有以下特殊情形

1. 当$a_1 = 1, a_2 = a_3 = 0$时，为离散型随机变量；
2. 当$a_2 = 1, a_1 = a_3 = 0$时，为连续型随机变量；
3. 当$a_3 = 1, a_1 = a_2 = 0$时，为奇异型随机变量。

上下节

• 上一节：Cauchy 分布
• 下一节：随机变量的函数

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.