除数和函数

在数论中，除数和函数是一种数论函数， $\sigma (n) = \sum_{d|n} d, n \in \N$ ，表示 $n$ 的所有正因子的和。

性质[]

除数和函数是积性函数，但不是完全积性函数。 $\sigma (mn) \leqslant \sigma(m) \sigma(n)$ ，当且仅当 $(m, n) = 1$ 时取到等号。
$\{ a \in \N: \sigma(n) \ne a, \forall n \in \N \}$ 和自然数等势。
$n$ 是素数当且仅当 $\sigma(n) = n+1.$
$\sigma (n)$ 是奇数当且仅当 $n = k^2$ 或 $n = 2k^2, k \in \N^+.$
若 $\sigma(n) = n + k < 2n, k \mid n$ ，则 $n$ 是素数。
$\sum_{d:d|n} \dfrac{1}{d} = \dfrac{\sigma (n)}{n}.$
（卷积性质） $\varphi * \sigma = \{ n \} * \{ n \}, \mu * \sigma = \{ n \}.$
（Dirichlet 逆） $\sigma_*^{-1} = \mu * \{ n \}_*^{-1}.$

设

t \in \R, \sigma_t(n) = \sum_{d:d|n} d^t.

显然

\sigma_1(n) = \sigma(n).

有

\sigma_t(n) = n^t \sigma_{-t}(n).

若设标准分解式 $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_r^{\alpha_r}$ ，则有计算公式

\sigma_t(n) = \prod_{j=1}^r \dfrac{p_j^{t(\alpha_j+1)} - 1}{p_j^t - 1}.

初等数论（学科代码：1101710，GB/T 13745—2009）
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