除数函数

在数论中，除数函数是一个数论函数。$\tau (n) = \sum_{d|n} 1, n \in \N$，表示$n$的所有正因子的个数。

性质

1. 除数函数是积性函数，但不是完全积性函数。$\tau (mn) \leqslant \tau(m) \tau(n)$，当且仅当$(m, n) = 1$时取到等号。
2. $\tau(n)$是奇数当且仅当$n$是完全平方数。
3. $\prod_{d:d|n} d = n^\frac{\tau (n)}{2}.$
4. （卷积性质）$(\mu \cdot \tau ) * \{ 1 \} = \nu, \mu * \tau = \{ 1 \}, \tau^2 * \mu = \mu^2 * \tau.$
5. （Dirichlet 逆）$\tau_*^{-1} = \mu * \mu.$

推广

除数函数也可以这样来理解：$\tau(n)$表示正整数$n$表为两个正整数乘积的不同表法数，这样除数函数可以做如下推广：$\tau_k(n)$表示正整数$n$表为$k$个正整数乘积的不同表法数，显然$\tau_1(n) = 1, \tau_2(n) = \tau(n).$并有

1. $\tau_k(n) = \sum_{d:d|n} \tau_{k-1}(n) = \tau_{k-1} * \{1\}, k > 1.$因此$\tau_k(n)$是积性函数。
2. 当$n = p^k$是素数方幂时，$\tau_k(n)$是不定方程$x_1 + x_2 + \cdots + x_k = \alpha$的非负解数。
3. 设有标准分解式$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}$，那么
   $$\tau_k(n) = \prod_{i=1}^r \dfrac{(\alpha_i + k - 1)!}{\alpha_i!(k-1)!}.$$

群论

$\tau(n)$刚好是$n$阶循环群$C_n$的复合列的长度，而且也是复合因子的个数。