阶乘

在数学上，阶乘是一个针对正整数的某种运算。

概念

我们可以采用递推的方法来定义阶乘，首先$1! = 1$，然后定义$(n+1)! = (n+1) \cdot n!, \forall n \in \N^+.$

这样我们就有

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = \prod_{i=1}^n i.$$

如上我们就定义了阶乘函数

$$\begin{align} ()!: \N^+ & \to \N^+, \\ n & \mapsto n!. \end{align}$$

零的阶乘没有定义，但是在很多场合，为了表述方便，我们会约定$0! = 1.$

$\Gamma$函数是阶乘在正实数上的推广，它保留了阶乘的基本定义，即$\Gamma(x+1) = x \Gamma(x), \forall x \in \R^+, \Gamma(1) = 1.$在这里$\Gamma(n+1) = n!, \forall n \in \N^+.$

可以通过欧拉方法将它延拓到非负整数的实数上去，但再进一步推广时会遇到本质上的困难，当它延拓到复平面上时，不能成为整函数，只能作为亚纯函数。

双阶乘

作为阶乘的另一种推广，我们可以定义双阶乘，同样使用递推定义：

$$n!! = n \cdot (n-2)!!, n > 2, n \in \N^+, 1!! = 1, 2!! = 2.$$

即

$$\begin{align} (2k)!! & = (2k) \cdot (2k-2) \cdot (2k-4) \cdots 4 \cdot 2 = 2^k k!, \\ (2k+1)!! & = (2k+1) \cdot (2k-1) \cdot (2k-3) \cdots 3 \cdot 1 = \dfrac{(2k+1)!}{(2k)!!} = \dfrac{(2k+1)!}{2^k k!}. \end{align}$$

与其相关的发散情形详见 Stirling 公式。

不等式

有关阶乘有很多相关的不等式以及估计公式：

1. $n! < \left( \dfrac{n+1}{2} \right)^n, n > 1$
2. $n! < \left( \dfrac{n+2}{\sqrt{6}} \right)^n, n > 1.$
3. $\forall r \in \R, (n!)^r \leqslant \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{k^r}{n} \right)^n.$
4. $\left( \dfrac{n}{3} \right)^n < n! < \left( \dfrac{n}{2} \right)^n, n > 6.$
5. $\left( \dfrac{n}{\text{e}} \right)^n < n! < \text{e} \left( \dfrac{n}{2} \right)^n.$
6. $\left( \dfrac{n+1}{\text{e}} \right)^n < n! < \text{e} \left( \dfrac{n+1}{\text{e}} \right)^{n+1}.$

极限

1. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1!+2!+\cdots+n!}{n!} = 1.$（点击查看证明/解答）
   ×证明/解答

   $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1!+2!+\cdots+n!}{n!} = 1.$

   关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

   首先

   $$1 < \dfrac{1! + \cdots + n!}{n!},$$

   其次当$n>2$时

   $$\begin{align} \dfrac{1! + \cdots + n!}{n!} & = \dfrac{1! + \cdots + (n-2)!}{n!} + \dfrac{(n-1)!}{n!} + 1 \\ & \leqslant \dfrac{(n-2) (n-2)!}{n!} + \dfrac{1}{n} + 1 \\ & = \dfrac{n-2}{n(n-1)} + \dfrac{1}{n} + 1 \\ & \to 1, \quad n \to \infty. \end{align}$$
2. 发散速度：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n} = 0, \forall a > 0.$
3. $\text{e} = \sum_{n=0}^n \dfrac{1}{n!}$
4. Stirling 公式：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}} = \text{e}.$
5. $\lim_{n \to \infty} (n!)^\frac{1}{n^2} = 1.$
6. Wallis 公式：$\lim_{n \to \infty} \left[ \left( \dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2 \dfrac{1}{2n+1} \right] = \dfrac{\pi}{2}.$