间断点

不连续点又称间断点（discontinuity），通常是在一元实函数的环境下讨论。如果一个函数在某个点（不一定是定义域中的点）不是连续的，我们就把这个点称为间断点。函数的所有不连续点的集合可能是离散集，稠密集甚至是函数的整个定义域。

第一类间断点

第一类间断点处的函数左右极限都存在（是有限数）。

可移间断点

如果不连续点$x_0$两侧函数的极限存在且相等，无论在$x_0$处是否定义（若有定义，则函数值不是在这一点的左右极限），这类间断点叫可移间断点（或可去间断点），这类函数通过补充定义（$f(x_0) = \lim _{x \to x_0^{+}} f(x) = \lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$）后都可变为连续函数。例如下面的函数：

• $f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - x + 3} {x + 1}$在$x_0 = - 1$处没有定义，但我们知道$\lim _{x \to -1^{+}} f(x) = \lim _{x \to -1^{-}} f(x) = 8$，则下面的函数是连续的：
  $F(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 3x^2 - x + 3} {x + 1}, & x \ne - 1 \\ 8, & x = - 1 \end{cases}$即$F(x) = x^2 - 4x + 3.$
• $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin{x}} {x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$在$x_0 = 0$处函数值和左右极限值不等，$\lim _{x \to 0^{+}} f(x) = \lim _{x \to 0^{-}} f(x) = 1$，则下面的函数是连续的：
  $F(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin{x}} {x}, & x \ne 0 \\ 1. & x = 0 \end{cases}$

• 

  这个函数的图像，它的所有值都落在 x = y 和 x = -y 之间

  函数$f(x) = x \sin{\dfrac{1}{x}}$在$x = 0$处是可移间断点，在$x = 0$的某个邻域$[-1, 1]$内函数值都落在$(-1, 1)$上，从而函数局部有界（这是一个减幅震荡造成的极限存在的情形）。

跳跃间断点

f(x) = (x) = x - [x]部分图像

如果不连续点$x_0$两侧函数的极限存在但不相等，称函数在这些点是跳跃间断点，通俗来说就是函数图像出现在某点出现断崖式间断。例如

• 高斯函数（$f(x) = [x], [x]$表示不超过$x$的最大整数）是不连续的，但是它具有半连续性，取顶函数也不连续，所有的整数点都是跳跃间断点。
• 取小数函数（$f(x) = (x) = x - [x]$）也是不连续的；
• 分段连续的函数，在分段点如果左右极限存在但不相等，那这样的分段点也是跳跃点。例如绝对值函数的导数符号函数$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}}$在$x_0 = 0$一点处。

跳跃间断点一般可以使用取整数函数和符号函数来构造，并且由取整数函数构造的函数还可以具有一定的周期。

第二类间断点

所有不是第一类间断点的类型，都是第二类间断点。例如无穷间断点和振荡间断点，都是$\lim _{x \to x_0^{+}} f(x)$和$\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$至少有一个不存在的情况。

无穷间断点

函数在某点的左右极限至少有一个是无穷，这样的间断点就是无穷间断点，由此可知函数在这个间断点的某个邻域中无界。

• 函数$f(x) = \dfrac{1}{x}$在$x = 0$处是无穷间断点；
• 函数$f(x) = \tan x$在$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \Z$处是无穷间断点。

振荡间断点

对于一个函数$f$，当自变量趋于某一点$x=a$时，存在常数$M > 0$使得对任意$x=a$的邻域$U$都有$\sup _{x,y\in U\cap D(f)}|f(x)-f(y)|>M$，即函数值在两个常数间变动无限多次，这时函数在这一点处不存在有限极限也不是无穷，这样的间断点就被称为振荡间断点，这时函数在这个间断点的某个邻域中可以有界，也可以无界。振荡间断点的一个重要特性是它可能是可积的。

• 函数$f(x)=x^{\alpha }\sin {\dfrac {1}{x}}$当$\alpha < 0$的时候在$x = 0$处就是震荡间断点，且在$\alpha >-1$的时候它在任意包含原点的有界区间上是 Lebesgue 可积的。

一般而言，构造振荡间断点可以使用等幅振荡的函数，例如，通过在$x=a$处连续的函数$f(x)$（其满足$f(a) \ne 0$）去构造一个$x=a$是震荡间断点的函数，那么$F(x) = f(x) \sin \dfrac{1}{x-a}$便是一例。

典型的例子

1. 取整函数及其类似函数（高斯函数，取小数函数等），整数都是跳跃点；
2. 符号函数；
3. Dirichlet 函数，处处不连续，处处不可导；
4. Thomae 函数，有理点不连续，无理点连续。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.