闭算子

在线性泛函分析中，闭算子（closed operator）是一类特殊的线性算子，它是指图像是闭集的线性算子，闭算子可以不是连续的，不过 Banach 空间上的连续线性算子一定可以延拓为一个闭算子。

乘积空间和算子的图像

算子的图像之概念来源于函数图像。假设有赋范线性空间$X, Y$，给定$1 \leqslant p \leqslant +\infty$在乘积集合$X \times Y$上可以定义范数 $$\| (x, y) \|_p = \begin{cases} \left( \| x \|^p + \| y \|_p \right)^\frac{1}{p}, & 1 \leqslant p < +\infty, \\ \max\{ \| x \|, \| y \| \}, & p = +\infty, \end{cases}.$$ 后$(X \times Y, \| \cdot \|_p)$是一个赋范线性空间，上面的范数确定的方式类似于已知$\R$上的范数给$\R \times \R$上确定范数，对任意的$p$它们都是等价的。

假设有算子$A: D(A) \subset X \to Y$，$X \times Y$的子集 $$G(A) := \{ (x, Ax): x \in D \}$$ 称为算子$A$的图像（graph）。

闭算子

假设同上，如果$A$是线性算子且$G(A)$在$X \times Y$中是闭的，我们就称$A$是闭算子（closed operator）。

这等价于对任意定义域$D(A)$中的点列$\{ x_n \}$，由$\lim_{n \to \infty} x_n = x$以及$\lim_{n \to \infty} Ax_n = y$可以得到$x \in D(A), y = Ax.$

一个简单的性质是：$G(A)$是$X \times Y$的闭线性子空间（进而是凸的），实际上对任意$(x, Ax), (y, Ay) \in G(A), a, b \in \R$我们有 $$a(x, Ax) + b(y, Ay) = (ax+by, aAx+bAy) = (ax+by, A(ax+by)) \in G(A).$$

开映射定理

假设$X, Y$是 Banach 空间，$A: X \to Y$是满的闭算子，那么$A$将开集映为开集，即$f$是开映射。

闭图像定理

对于一个线性算子来说，连续性和闭性之间的关系由闭图像定理保证。定义域是闭集的连续算子是闭算子，一般来说闭线性算子不一定是连续的。

（闭图像定理）假设$X, Y$是 Banach 空间，$A: D(A) \subset X \to Y$是闭算子，且它的定义域$D(A)$是闭集，那么$A$是连续的。

后面我们考察的闭算子$A: D(A) \subset X \to Y$均是稠定的（即定义域$D(A)$在全空间$X$中稠密），闭图像定理告诉我们，如果$D(A) = X$且$X$是 Banach 的，那么$A$就是连续线性算子。

得益于这个定理，在很多场合下我们如果要检验算子的连续性往往可以通过先检验算子的闭性得到，闭性更容易检验，实际上下面三个条件：

1. $x_{n}\to x_{0}\in X.$
2. $Ax_{n}\to y_{0}\in Y.$
3. $y_0 = Ax_0.$

要证明$A: X \to Y$连续，我们需要用(1)推出(2)和(3)，而要证明$A$闭，需要用(1)和(2)推出(3)，验证闭性相对于连续性是多了一个条件而少了一个结论，更易于证明。

共轭算子

假设$X, Y$是 Banach 空间，$A: D(A) \subset X \to Y$是闭算子且$\overline{D(A)} = X$（我们这时称$A$是稠定的），那么我们有

1. $N(A^*) = R(A)^\perp.$
2. $N(A^*)^\perp = \overline{R(A)}.$
3. $N(A) = R(A^*)^\perp.$
4. $N(A)^\perp \supset \overline{R(A^*)}.$

证明参见共轭算子#核空间和象空间的正交关系。另外

如果假设$A: D(A) \subset X \to Y$是 Banach 空间间的稠定的线性算子，那么$A^*: D(A^*) \subset Y^* \to X^*$是闭算子。证明参见共轭算子#图像的闭性。

闭算子和一个连续线性算子的复合满足：

假设$X, Y, Z$是 Banach 空间，$T: D(A) \subset X \to Y$是稠定闭算子，$S: Y \to Z$连续线性，那么$(S \circ T)^* = T^* \circ S^*$，这里定义域$D((S \circ T)^*) = (S^*)^{-1}(D(T^*))$。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

对任意的$h \in (S^*)^{-1}(D(T^*)), x \in D(T)$我们有 $$\begin{align} \langle (T^* \circ S^*)(h), x \rangle & = \langle T^*(S^*(h)), x \rangle \\ & = \langle S^*(h), T(x) \rangle \\ & = \langle h, S(T(x)) \rangle \\ & = \langle h, (S \circ T)(x) \rangle \\ & = \langle (S \circ T)^*(h), x \rangle. \end{align}$$

但是闭算子和一个连续线性算子的复合未必还是闭算子。

第二共轭算子

对于一般的稠定线性算子$A$而言，未必有$D(A^*)$在$Y^*$中稠密，因此我们无法进一步定义第二共轭算子$A^{**}$，但是我们指出：自反的 Banach 空间之间的稠定闭算子的$D(A^*)$是稠密的，进而可以定义第二共轭算子。

假设$X, Y$是自反空间且$A: D(A) \subset X \to Y$是稠定的闭算子，那么$D(A^*)$在$Y^*$中稠密。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

用反证法，假设$D(A^*)$在$Y^*$中不稠密，那么存在$\varphi \in Y^{**}$满足

1. $\varphi$在$D(A^*)$上恒为零，
2. $\varphi$在$Y^*$上不恒为零，

由于$Y$自反，假设有等距同构$i: Y \to Y^{**}$，我们得到$i^{-1}\varphi \in Y$，于是 $$\langle v, i^{-1} \varphi \rangle = 0, \quad \forall v \in D(A^*).$$ 另一方面，$i^{-1} \varphi \ne 0 \in Y$，故$(0, i^{-1}\varphi) \notin G(A)$，对闭凸集$G(A)$和单点闭集$\{ (0, i^{-1}\varphi) \}$用凸集分离定理我们得到存在一个连续线性泛函$h \in (X \times Y)^*$以及常数$\alpha>0$满足 $$h(u, Au) < \alpha < h(0, i^{-1}\varphi), \quad \forall u \in D(A).$$ 由于$h$在子空间$G(A)$上有上界，那么 $$h(u, Au) = 0, \quad \forall u \in D(A).$$ 定义$g(y) = h(0, y)$，它是线性的，且 $$|g(y)| = |h(0, y)| \leqslant \| h \| \| (0, y) \|_p = \| h \| \| y \|, \quad \forall y \in Y.$$ 即$g \in Y^*$，另一方面我们有$$|g(Au)| = |h(0, Au)| = |h(u, Au) - h(u, 0)| \leqslant \| h \| \| (u, 0) \|_p \leqslant \| h \| \| u \|, \forall u \in D(A)$$即$g \in D(A^*).$ 但是$\langle \varphi, g \rangle = \langle g, i^{-1}\varphi \rangle = h(0, i^{-1} \varphi) > \alpha > 0.$ 这就表明和$\varphi$在$D(A^*)$上恒为零矛盾。

这样我们就可以定义第二共轭算子$A^{**}: D(A^{**}) \subset X^{**} \to Y^{**}$：下面假设$X, Y$是自反的，这时存在等距同构$i_X: X \to X^{**}. i_Y: Y \to Y^{**}$定义域是 $$D(A^{**}) = \{ i_X(u) \in X^{**}: i_X(u) \circ A^*|_{D(A^*)} \text{ is bounded linear functional.} \} \subset X^{**}.$$ 对应关系是对任意的$u \in X$，$A^{**}i_X(u)$是$D(A^*)$上的有界线性泛函$i_X(u) \circ A^*$在$Y^*$上的唯一稠密延拓。$A$和$A^{**}$自然是有一定关系的，我们指出它们在相差同构的意义下是相等的：

假设同#定理3，那么 $$i_{Y}\circ A=A^{**}\circ i_{X},\qquad {\text{ in }}D(A).$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

我们先证明定义域合理，然后证明取值相等。

1. $i_X(D(A)) \subset D(A^{**})$：任取$u \in D(A) \subset X$那么对任意$v \in D(A^*) \subset Y^*$我们都有$$\langle i_X(u), A^*v \rangle = \langle A^*v, u \rangle = \langle v, Au \rangle \leqslant \| v \| \| Au \|.$$这就表明$i_X(u) \circ A^*|_{D(A^*)}$是有界的，因此$i_X(u) \in D(A^{**})$。
2. 任取$x \in D(A)$，我们要证明$A^{**}(i_X(x)) = i_Y(Ax) \in Y^{**}$，即要证明对任意的$v \in Y^*$都成立$$\langle A^{**}(i_X(x)), v \rangle = \langle i_Y(Ax), v \rangle.$$由上面证明的稠密性我们知道存在$v_k \in D(A^*)$满足$v_k \to v \in Y^*$，因此$$\begin{align} \langle A^{**}(i_X(x)), v \rangle & = \lim_{k \to \infty} \langle A^{**}(i_X(x)), v_k \rangle && i_X(x) \in X^{**} \\ & = \lim_{k \to \infty} \langle i_X(x), A^*v_k \rangle && v_k \in D(A^*) \\ & = \lim_{k \to \infty} \langle A^*v_k, x \rangle \\ & = \lim_{k \to \infty} \langle v_k, Ax \rangle && x \in D(A) \\ & = \lim_{k \to \infty} \langle i_Y(Ax), v_k \rangle \\ & = \langle i_Y(Ax), v \rangle. && i_Y(Ax) \in Y^{**} \end{align}$$
   

实际上还可以证明$i_X(D(A)) = D(A^{**})$，有其它具有启发式的证明思路，例如利用 $$I(G(A^*)) = G(A)^\perp.$$ 用$A^*$替换上式的$A$得到 $$I'(G(A^{**})) = G(A^*)^\perp.$$ 来证明这两个算子的图像在同构的意义下是相等的 $$G(A^{**}) = I'^{-1}(G(A^*)^\perp) = I'^{-1}(I^{-1}(G(A)^\perp)^\perp) = G(A)^{\perp\perp} = G(A)$$ 进而得到这两个算子在同构的意义下相等的（含定义域）。

闭包

假设定义在赋范线性空间之间的一个线性算子$A: D(A) \subset X \to Y$满足：存在闭算子$B:D(B)\subset X\to Y$满足：

1. $D(A)\subset D(B).$
2. $B|_{D(A)}=A.$

我们就说$A$存在闭延拓，这个时候$A$的图像$G(A)$是闭集$G(B)$的一个子集，自然${\overline {G(A)}}$（包含$G(A)$的最小闭集）是$G(B)$的闭子集，它对应了某个闭算子$\overline{A}$的图像$G({\overline {A}})$，我们就称$\overline{A}$是$A$的闭包（closure），同时我们也称算子$A$是可闭的（closurable）。

对固定的$x_0 \in X$，考察收敛到$x_0$的任意序列$\{ x_n \}$对应的象$\{ Ax_n \}$，按照闭算子的定义我们要考察那些极限存在的序列$\{ Ax_n \}$。

$A$有闭延拓当且仅当使得对任意$x_{0}\in {\overline {D(A)}}$，对任意以$x_0$为极限点的序列$\{ x_n \}$，$\{ Ax_n \}$极限存在且不依赖于点列的选取（只和$x_0$有关）。

这个定理的证明可参见对称算子#闭延拓，这样根据上面的定理，$$D({\overline {A}})=\{x_{0}\in X:y_{0}:=\lim _{n\to \infty }Ax_{n}{\text{ exists for some }}x_{n}\in X{\text{ such that }}\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}\}.$$ 且$y_{0}={\overline {A}}x_{0}.$

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.