闭形式

闭形式是一种特殊的微分形式，恰当形式是系数可微的闭形式。

概念

闭形式

假设$U \subset \R^n$是开区域，有微分形式$\omega \in \varLambda^k(U), 1 \leqslant k \leqslant m.$记 $$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant m}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\land \mathrm {d} x_{i_{2}}\land \cdots \land \mathrm {d} x_{i_{k}}.$$ 如果$a_{i_1 i_2 \cdots i_m}$是可微函数且$\mathrm{d}\omega = 0.$我们就说$\omega$是闭形式。

恰当形式

假设有微分形式$\omega \in \varLambda^k(U), 0 \leqslant k \leqslant m.$如果存在$\mu \in \varLambda^{k-1}(U)$使得$\omega = \mathrm{d}\mu$，我们就说$\omega$是恰当形式。

系数可微的恰当形式必然是闭形式。而闭形式是否是恰当形式则与区域$U$的形状有关。

Poincare 引理

星形区域上的闭形式一定是恰当形式，一个开区域$U \subset \R^n$称为是星形区域是指存在$x_0 \in U$对任意$x \in U$，由$x_0, x$连接的线段都在$U$中，$x_0$称为$U$的中心。凸区域是星形区域，但反之不真。

Poincare 引理指出：如果$U \subset \R^m$是星形区域，则对任意的$1 \leqslant k \leqslant m$，$U$上的所有（系数）可微的$k$次闭形式都是恰当形式，特别地，所有可微的$m$次微分形式都是闭形式。

如果$U \subset \R^m$是星形区域，如果系数可微的$1$形式$\omega = \sum_{k=1}^m f_k(x) \mathrm{d}x_k$满足 $$\dfrac{\partial f_j}{\partial x_k} = \dfrac{\partial f_k}{\partial x_j}, i,k = 1,2,\cdots,m, \forall x \in U$$那么存在$U$上的二阶可微函数$u(x)$使得$\mathrm{d}u = \omega$。即$\omega$是全微分。

局部恰当

假设$U \subset \R^n$是开区域，有微分形式$\omega \in \varLambda^k(U), 1 \leqslant k \leqslant m.$$\omega$是具有连续可微的系数的$k$次微分形式，它是闭形式当且仅当它是局部恰当形式，即满足$\forall x_0 \in U$都存在邻域$U(x_0) \subset U$使得$\omega$在$U(x_0)$上是恰当的。

散度

如果$U \subset \R^m$是开区域，$F: U \to \R^m$是可微的向量值函数，且 $$F(x) = (a_1(x), a_2(x), \cdots, a_m(x)), \forall x \in U.$$ 定义 $$\omega_F = \sum_{k=1}^m (-1)^k a_k \mathrm{d}x_1 \land \cdots \land \overline{\mathrm{d}x_k} \land \cdots \land \mathrm{d}x_m$$ 其中，$\mathrm{d}x_1 \land \cdots \land \overline{\mathrm{d}x_k} \land \cdots \land \mathrm{d}x_m$表示从$\mathrm{d}x_1 \land \cdots \land \mathrm{d}x_k \land \cdots \land \mathrm{d}x_m$中去掉$\mathrm{d}x_k.$那么$\omega_F$是闭形式当且仅当散度 $$\text{div} F = \sum_{k=1}^m \dfrac{\partial a_k(x)}{\partial x_k} = 0.$$