闭图像定理

在线性泛函分析中，闭图像定理（closed graph theorem）是揭示连续线性算子和闭算子之间关系的一个定理。关于拓扑上的一般连续映射的闭图像定理参见/拓扑学。

闭算子

假设$X, Y$是 Banach 空间，如果$A: D(A) \subset X \to Y$是线性算子且它的图像 $$G(A) = \{ (x, Ax): x \in X \}$$ 在$X \times Y$中是闭的，我们就称$A$是闭算子（closed operator）。

这等价于对任意定义域$D(A)$中的点列$\{ x_n \}$，由$\lim_{n \to \infty} x_n = x$以及$\lim_{n \to \infty} Ax_n = y$可以得到$x \in D(A), y = Ax.$

定理内容

定义域是闭集的连续算子是闭算子，一般来说闭算子不一定是连续的，但是有如下的闭图像定理。

假设$X, Y$是 Banach 空间，$A: X \to Y$是闭算子，且它的定义域$D(A)$是闭集，那么$A$是连续的。

图像是闭推不出定义域闭的，实际上存在着定义域不是闭集的闭算子，它是无界的，考察$X = C[0, 1]$，范数定义为$\| x \| = \sup_{t \in [0, 1]} |x(t)|$，$A = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$，$D(A) = C^1[0, 1]$（它的闭包是$X$进而不是闭的），那么$A$是闭算子，但是它是无界的（考察$x = t^n$，另外，实际上如果$C^{1}[0,1]$的子空间$X_0$在$C[0, 1]$中闭，那么$X_0$一定是有限维的，参见林源渠, 《泛函分析学习指南》, 北京大学出版社, 2009, p112-113, ISBN 978-7-3011-4387-2.）。

证明

由$D(A)$的闭性可得它是完备的，引入图模 $$\| x \|_G = \| x \| + \| Ax \|, \quad \forall x \in D(A).$$ 我们已经知道$(D(A), \| \cdot \|)$是完备的且$\| \cdot \|_G$比$\| \cdot \|$强，只要再证明$(D(A), \| \cdot \|_G)$是完备的便根据等价范数定理就有$\| \cdot \|_G$与$\| \cdot \|$等价，这样下去就存在$M > 0$使得 $$\| Ax \| \leqslant \| x \|_G \leqslant M \| x \|.$$ 这就证明了$A$是连续线性算子。

证明$(D(A), \| \cdot \|_G)$是完备的：取$D(A)$中的基本列$\{ x_n \}$它满足 $$\| x_m - x_n \|_G = \| x_m - x_n \| + \| A(x_m - x_n) \|.$$ 当$m, n \to \infty$时$\| x_m - x_n \| \to 0.$由$(D(A), \| \cdot \|)$的完备性可知$\{ x_n \}$是$\| \cdot \|$下的收敛列，存在$x_0 \in X$使得$x_n \to x_0, n \to \infty.$

由于$Y$是完备的，故$\{ Ax_n \}$是收敛列，这样存在$y_0 \in Y$使得 $$Ax_n \to y_0, n \to \infty.$$ 根据$T$是闭算子可得$y_0 = Ax_0.$这样就有 $$Ax_n \to Ax_0.$$于是$\| x_n - x_0 \|_G \to 0.$ 这就证明了$\{ x_n \}$是$\| \cdot \|_G$下的收敛列。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.