閉包系統

閉包系統（closure system）是序理論中的一個概念，它是一個集合的對集合併運算封閉的子集族。很多代數運算的子代數族都是閉包系統。

定義

一個集合$X$的一個子集族$\mathcal{C} \subset 2^X$，如果滿足 $$\mathcal{A} \subset \mathcal{C} \Longrightarrow \bigcup_{S \in \mathcal{A}} S \subset \mathcal{C}.$$ 即對並運算封閉，我們就說$\mathcal{C}$是一個閉包系統。

閉包系統作為偏序集，每個子集都有最大上界，因此是完全格。展開例子摺疊例子

1. 集合$S$的冪集$2^S$是閉包系統，進而是完全格。
2. 群$G$的正規子群全體$N(G)$是閉包系統，進而是完全格。
3. 環$R$的理想全體$I(R)$是閉包系統，進而是完全格。
4. 模$M$的子模全體$N(M)$是閉包系統，進而是完全格。
5. 線性空間$V$的線性子空間全體是閉包系統，進而是完全格。
6. 拓撲空間$(X, \tau)$的閉集全體是閉包系統，進而是完全格。

對偶閉包系統

上述概念的對偶概念是：一個集合$X$的一個子集族$\mathcal{C} \subset 2^X$，如果滿足 $$\mathcal{A} \subset \mathcal{C} \Longrightarrow \bigcap_{S \in \mathcal{A}} S \subset \mathcal{C}.$$

即對交運算封閉，我們就說$\mathcal{C}$是一個對偶閉包系統（dual closure system）。展開例子摺疊例子

1. 拓撲空間$(X, \tau)$的開集全體是對偶閉包系統。
2. 非空集合$A$上的所有等價關係全體$\text{Eq}(A)$是對偶閉包系統。

參考資料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.