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闭包系统(closure system)是序理论中的一个概念,它是一个集合的对集合并运算封闭的子集族。很多代数运算子代数族都是闭包系统。

定义[]

一个集合的一个子集族,如果满足

即对并运算封闭,我们就说是一个闭包系统。

闭包系统作为偏序集,每个子集都有最大上界,因此是完全格展开例子折叠例子

  1. 集合幂集是闭包系统,进而是完全格。
  2. 正规子群全体是闭包系统,进而是完全格。
  3. 理想全体是闭包系统,进而是完全格。
  4. 子模全体是闭包系统,进而是完全格。
  5. 线性空间线性子空间全体是闭包系统,进而是完全格。
  6. 拓扑空间闭集全体是闭包系统,进而是完全格。

对偶闭包系统[]

上述概念的对偶概念是:一个集合的一个子集族,如果满足

即对交运算封闭,我们就说是一个对偶闭包系统(dual closure system)。展开例子折叠例子

  1. 拓扑空间开集全体是对偶闭包系统。
  2. 非空集合上的所有等价关系全体是对偶闭包系统。

参考资料

  1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.
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