闭包系统(closure system)是序理论中的一个概念,它是一个集合的对集合并运算封闭的子集族。很多代数运算的子代数族都是闭包系统。
定义[]
一个集合
的一个子集族
,如果满足

即对并运算封闭,我们就说

是一个闭包系统。
闭包系统作为偏序集,每个子集都有最大上界,因此是完全格。展开例子折叠例子
- 集合
的幂集
是闭包系统,进而是完全格。 - 群
的正规子群全体
是闭包系统,进而是完全格。 - 环
的理想全体
是闭包系统,进而是完全格。 - 模
的子模全体
是闭包系统,进而是完全格。 - 线性空间
的线性子空间全体是闭包系统,进而是完全格。 - 拓扑空间
的闭集全体是闭包系统,进而是完全格。
对偶闭包系统[]
上述概念的对偶概念是:一个集合
的一个子集族
,如果满足

即对交运算封闭,我们就说
是一个对偶闭包系统(dual closure system)。展开例子折叠例子
- 拓扑空间
的开集全体是对偶闭包系统。 - 非空集合
上的所有等价关系全体
是对偶闭包系统。
参考资料
- S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN
978-1-4613-8132-7
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