開球

在度量空間中，開球是指一類以類似歐幾里德空間中球的定義方式所定義的集合。

若$M$為度量空間，則$M$中的所有開集都可寫成開球的聯集。

定義

在一個具有度量$d$的度量空間$M$中，可將一個以某點$x\in M$為「中心」，「半徑」為$r \geqslant 0$的開球給記作$B(x; r)$，它的定義如下：

$B(x;r) = \{ y \in M: d(x,y) < r \}$

意即$B(x; r)$為所有與$x$的「距離」小於$r$的點的集合。可證明度量空間中的所有開球都是開集。

閉球

對應有閉球的概念：$B[x, r] := \{ y \in M: d(x, y) \geqslant r \}$，可以驗證它是閉集。注意開球$B(x,r)$的閉包$\overline{B(x, r)}$不一定是對應的閉球$B[x, r]$，但是在 Euclid 空间中是一致的。一個不一致的例子是：考察整數集合$\mathbb{Z}$，其上的度量為$d(m, n) = |m - n|.$顯然$\overline{B(0, 1)} = \{ 0 \}$而按照上述定義的閉球則對應是$B[0, 1] = \{ -1, 0, 1 \}$

參見

• 開集
• 閉集
• 內部
• 邊界
• 球