閉包

拓撲空間中一個集合$S$的閉包（closure），一般記作$\overline{S}$，是指$S$中的點和其邊界上的點所構成的集合，它始終是閉集。集合的內部與閉包是一對對偶概念。拓撲的概念可以使用閉包公理構建，這等價於開集公理，詳見拓撲。

拓撲空間

拓撲空間$X$中的一個集合$A$的閉包等價定義還有

1. $X$中所有包含$A$的閉集的交集（即：包含$A$的最小閉集）。
2. $X$中所有每一個鄰域都包含$A$的至少一個點的點的集合。

在拓撲空間$X$中，一個集合$A$是閉集當且僅當$A = \overline{A}$，即$A$為其自身的閉包。

拓撲空間中的閉包可以組成閉包系統。

性質

假設集合$A, B$是拓撲空間$X$中定義的點集，

• 若$A \subset B$，則$\overline{A} \subset \overline{B}.$
• $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$
• $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}.$
• 設$A$是開集，那麽$A \cap \overline{B} \subset \overline{A \cap B}.$

互補的兩集合，其中一個集合的閉包和另一個集合的内部互補：

• $\text{Int}(X \setminus A) = X \setminus \overline{A}.$
• $\overline{X \setminus A} = X \setminus \text{Int}(A).$

假設$\{ A_i \}_{i \in I}$是一族$X$中的無窮集合，那麽

• $\overline{\bigcap_{i \in I} A_i} \subset \bigcap_{i \in I} \overline{A}.$
• $\overline{\bigcup_{i \in I} A_i} \supset \bigcup_{i \in I} \overline{A}.$

相對閉包

閉包和開集閉集一樣是相對的概念。假設$X$是拓撲空間，$A$是$X$的子空間，$B \subset A$的閉包可能在$A$中的閉包$\overline{B}_A$和在$X$中的閉包$\overline{B}$是不同的，但是儅$A$是$X$的閉集時二者相同，一般情況下有

$$\overline{B}_A = A \cap \overline{B}.$$

内部也具有類似的性質。

序列閉包

上面我們定義的閉包稱爲拓撲閉包，還有一類藉助序列語言定義的閉包的概念，稱爲序列閉包。

我們稱拓撲空間$X$中的一個集合$S$是序列閉的，是指其中任意序列的極限都還在$S$中，進一步定義一個集合$S$的序列閉包是這個集合的所有序列的極限點的集合。

序列閉集一定是（拓撲）閉集，反之未必，在第一可數空間中二者等價（有序列引理）。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.