錐面

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在這裡你將了解到有關空間曲面曲線以及空間變換的相關知識，希望你能收穫更多！

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在三維空間中，由曲線上的點和不在曲線上的定點的連直線所組成的曲面稱為錐面。最常見的錐面是圓錐面和二次錐面。拓撲空間中的錐面詳見拓撲錐。

概念

設空間中有一曲線$C$以及曲線$C$外一點$P_0$，則$C$上的點$P_1$及$P_0$的連線所組成的曲面就是錐面，曲線$C$稱為錐面的準線，$P_0$稱為頂點，直線$P_0 P_1$稱為錐面的母線。

顯然，錐面的母線有無數條，並且準線也不是唯一的，錐面上與母線相交的曲線都可以作為準線。

特別地，平面也算作錐面，平面上的任意一點都可視為頂點（一般約定原點為頂點），任何一條不過頂點的封閉曲線都可作為母線。

方程

我們假定一個錐面的頂點為$P_0 = {(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}}$, 準線$C:\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}$

異於頂點的點$P {(x, y, z)}^{\operatorname{T}}$在這個錐面上等價於點$P$在某一條母線上，即$\exists P_1 {(x_1, y_1, z_1)}^{\operatorname{T}} \in C, s.t. P_1 \in P_0 P.$於是有

$\begin{cases} F(x_1, y_1, z_1) = 0, \\ G(x_1, y_1, z_1) = 0, \\ x_1 = x_0 + (x - x_0) t, \\ y_1 = y_0 + (y - y_0) t, \\ z_1 = z_0 + (z - z_0) t. \end{cases}$

消去參數$x_1, y_1, z_1$得

$\begin{cases} F(x_0 + ( x - x_0 ) t, y_0 + ( y - y_0 ) t, z_0 + ( z - z_0 ) t) = 0, \\ G(x_0 + ( x - x_0 ) t, y_0 + ( y - y_0 ) t, z_0 + ( z - z_0 ) t) = 0. \end{cases}$

再消去參數$t$，添上頂點，就是所求的錐面方程。

方程特點

$x, y, z$的齊次方程表示的曲面（添上原點）一定是以原點為頂點的錐面。

在以錐面的頂點為原點的坐標系中，錐面可以用$x, y, z$的齊次方程表示。

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