重積分

重積分是一種十分重要的多元積分，它的特例有定積分（一重積分）、二重積分以及三重積分等，將它做適當推廣還可得到反常重積分。

概念

設有一個可度量的幾何閉域$\mathit{\Omega}$，在其上定義了一個多元函數$f(M), \forall M \in \mathit{\Omega}.$將$\mathit{\Omega}$分為若干部分$\Delta \mathit{\Omega}_i, i = 1,2,\cdots, n$使其滿足$\mathit{\Omega} = \bigcup_{i=1}^n \Delta \mathit{\Omega}_i$且$\Delta \mathit{\Omega}_i \cap \Delta \mathit{\Omega}_j = \varnothing, \forall i \ne j$，記$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} d(\Delta \mathit{\Omega}_i)$（所有分割部分的直徑的最大值，也叫分割的模），在$\Delta \mathit{\Omega}_i$中任取一點$M_i$，作下述積分和式 $$\sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta \mathit{\Omega}_i$$ 如果上述和式在$||\Delta|| \to 0$時對任意的分割方法和任意的$M_i \in \Delta \mathit{\Omega}_i$都有唯一的有限值，我們就說函數$f(M)$在$\mathit{\Omega}$上 Riemann 可積，積分和式的極限叫作$f(M)$在$\mathit{\Omega}$上的定積分（Riemann 積分），記作 $$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta \mathit{\Omega}_i.$$

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.