重心

重心是一个三角形的三条中线的交点，当这个三角形质量分布均匀时，这也是三角形物理意义上的重心.

唯一性

由 Ceva 定理易证.

性质

对于三角形$ABC$，设其中线$AD, BE, CF$交于$G$，则有：

1. 重心与三角形三个顶点所构成的三个三角形面积相等：由
   $$S_{\triangle {AGB}}=S_{\triangle {ABD}}-S_{\triangle {GBD}}=S_{\triangle {ADC}}-S_{\triangle {GDC}}=S_{\triangle {AGC}}$$
   可得.
2. 重心把中线分成长度比为$2:1$的两段：过$C$作$CP\parallel BE$交$AD$延长线于$P$，则$GE$是三角形$APC$的中位线，因此$AG=GP$. 因为$\triangle {BDG}\cong \triangle {CDP}$，所以$GD=DP={\frac {1}{2}}GP={\frac {1}{2}}AG$.
3. ${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}=0$：由性质二的证明中，可得四边形$BGCP$是平行四边形，故而${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {GP}}+{\overrightarrow {GA}}=0$.
4. 重心是三角形中到三个顶点距离平方和最小的点：设三角形内有一点$Q$，则由性质三得
   $${\begin{aligned}QA^{2}+QB^{2}+QC^{2}=&({\overrightarrow {QG}}+{\overrightarrow {GA}})^{2}+({\overrightarrow {QG}}+{\overrightarrow {GB}})^{2}+({\overrightarrow {QC}}+{\overrightarrow {CG}})^{2}\\=&3({\overrightarrow {QG}})^{2}+({\overrightarrow {GA}})^{2}+({\overrightarrow {GB}})^{2}+({\overrightarrow {GC}})^{2}\\\geq &({\overrightarrow {GA}})^{2}+({\overrightarrow {GB}})^{2}+({\overrightarrow {GC}})^{2}\end{aligned}}$$
   等号成立当且仅当$Q,G$重合.
5. 重心是三角形中到三条边距离的乘积最大的点：设$Q$是三角形内一点，到三边$a,b,c$的距离分别为$h_a, h_b, h_c$. 则$2S_{\triangle {ABC}}=AB\cdot h_{c}+BC\cdot h_{a}+AC\cdot h_{b}\geq 3{\sqrt[{3}]{AB\cdot BC\cdot CA\cdot h_{a}h_{b}h_{c}}}$，等号成立当且仅当$AB\cdot h_{c}=BC\cdot h_{a}=AC\cdot h_{b}$，由性质一得到这个点就是重心.
6. 在平面直角坐标系中，重心的坐标等于三个顶点坐标的算术平均数：由性质三易证.

这些命题的逆命题均可用于重心的判定.