酉矩阵

在矩阵论中，酉矩阵（unitary matrix）是一种特殊的矩阵，它是实空间中正交矩阵的推广，它是保持有限维复内积空间上向量的 Euclid 长度的不变的线性变换对应的矩阵。在一般的赋范线性空间中的推广为酉算子（实赋范线性空间中又叫正交算子）。

概念

设有$\C^{n \times n}$上的矩阵$U$，如果它满足$U^\text{H} U = E_n$，我们就称该矩阵为酉矩阵，这里$U^\text{H}$表示$U$的共轭转置。

它有如下等价刻画：

1. $U$可逆，且$U^{-1} = U^\text{H};$
2. $U^{-1}$或$U^\text{H}$是酉矩阵；
3. $U U^\text{H} = E_n;$
4. $U$是保持复向量空间上 Euclid 长度的不变，即$\forall z \in \C^n, \| z \|_2 = \| Uz \|_2;$
5. $\forall x, y \in \C^n, (x, y) = 0 \iff (Ux, Uy) = 0.$

性质

设$U, V \in \C^{n \times n}$是酉矩阵，那么

1. $UV$也是酉矩阵；
2. $|\det U| = 1$；
3. $\C^{n \times n}$上的全体酉矩阵构成一群，称为特殊正交群，实际上，若定义了矩阵范数和矩阵级数的收敛性，那么该集合是$\C^{n \times n}$的一个紧集。
4. （选择原理）设$\{ U_k \}_{k=1}^\infty$是$\C^{n \times n}$上的酉矩阵序列，则存在一个子列$\{ U_{k_j} \}_{j=1}^\infty$满足$\lim_{j \to \infty} U_{k_j}^{(a,b)} = U^{(a, b)}.$这里上标$(a,b)$表示矩阵对应的第$a$行第$b$列的元素，$U$是酉矩阵。

酉等价

设$A, B \in \C^{n \times n}$，如果存在酉矩阵$U \in \C^{n \times n}$满足 $$A = U^\text{H} B U.$$ 我们就称$A$与$B$酉等价，特别地，当数域选择实数域时对应的称为（实）正交等价。

如果$A$与$B$酉等价，那么它们的 Frobenius 范数相等。

Specht 定理

矩阵$A, B$酉等价当且仅当 $$\text{tr} W(A, A^\text{H}) = \text{tr} W(B, B^\text{H}).$$ 其中，$W(A, A^\text{H})$是矩阵$A$的字。

该定理常用来证明两个矩阵不酉等价，因为一个矩阵的字是无限多的，我们不可能将其全部验证相等，因此有如下定理。

Pearcy 定理

矩阵$A, B \in \C^{n \times n}$酉等价当且仅当 $$\text{tr} W(A, A^\text{H}) = \text{tr} W(B, B^\text{H}).$$ 对次数不大于$2n^2$的每个字成立。

参考资料

1. Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN 978-0-5215-4823-6.