邻域基

邻域基（neighborhood basis）是一个拓扑空间中的局部概念，可用于定义第一可数空间。

定义

假设有拓扑空间$X$，$x \in X$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系，记作$\mathcal{N}(x)$，$\mathcal{N}(x)$的一个子集$\mathcal{U}(x)$称为$x$的一个邻域基（neighborhood basis），如果满足：$x$的每个邻域至少包含$\mathcal{U}(x)$中的一个成员。

如果$\mathcal{B}$是$X$的拓扑基，那么$\mathcal{U}(x) = \{ B \in \mathcal{B}: x \in B \}$是$x$的一个邻域基。

如果拓扑空间$X$中任意一点都有可数的邻域基，我们就称这个空间为第一可数空间。

邻域公理

假设$X$是拓扑空间，$x \in X$且$\mathcal{N}(x)$是$x$的一个邻域系。

1. $\mathcal{N}(x) \ne \varnothing$且若$U \in \mathcal{N}(x)$那么$x \in U.$
2. 若$U, V \in \mathcal{N}(x)$，那么$U \cap V \in \mathcal{N}(x).$
3. 若$U \in \mathcal{N}(x), U \subset V$，那么$V \in \mathcal{N}(x).$
4. 若$U \in \mathcal{N}(x)$则存在$V \in \mathcal{N}(x)$使得$V \subset U$且对任意$y \in V$都有$V \in \mathcal{N}(y).$

实际上，从上面四点我们可以建立拓扑的邻域公理：假设$X$是一个集合，又设对每一点$x \in X$都存在一个集合系$\mathcal{N}(x)$使得它满足如上四点，则$X$有唯一的一个拓扑使得对任意$x \in X$，$\mathcal{N}(x)$是$x$的邻域系。

这个拓扑中的开集是这样诱导的：其中的开集定义为$X$的子集$U$，且如果$x \in U$则$U \in \mathcal{N}(x).$这个拓扑和开集公理定义的拓扑等价。

邻域子基

假设$X$是拓扑空间，$\mathcal{N}(x)$是$x \in X$对应的邻域系，我们称它的子族$\mathcal{W}(x)$为一个$x$的邻域子基是指：$\mathcal{W}(x)$的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即

$$\{ W_1 \cap W_2 \cap \cdots \cap W_n: W_i \in \mathcal{W}(x), i = 1, 2, \cdots, n. \}$$

是$\mathcal{N}(x)$的一个邻域基。

度量空间中以某一个点为球心的全体开球构成该点的邻域子基。

局部连续性

邻域子基和邻域基是局部概念，可用来判断映射在这一点处的局部连续性。

假设$X, Y$是拓扑空间，映射$f: X \to Y$，$x \in X$，则以下三款等价

1. $f$在$x$处连续。
2. $f(x)$有一个邻域基$\mathcal{U}(x)$使得对任意$V \in \mathcal{U}(x)$，原象$f^{-1}(V)$是$x$的一个邻域。
3. $f(x)$有一个邻域子基$\mathcal{W}(x)$使得对任意$V \in \mathcal{W}(x)$，原象$f^{-1}(V)$是$x$的一个邻域。

拓扑基与邻域基

拓扑基和邻域基有下面的关系：假设$X$是拓扑空间，$x \in X$，则

1. 若$\mathcal{B}$是$X$的拓扑基，则$\{ B \in \mathcal{B}: x \in B \}$是$x$的一个邻域基。
2. 若$\mathcal{P}$是$X$的拓扑子基，那么$\{ S \in \mathcal{P}: x \in S \}$是$x$的一个邻域子基。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.