邻域

在点集理论中，邻域（neighborhood）指一个点集空间中某点“附近”的一个集合。

实数上的邻域

设 $a \in \mathbb {R} , \delta > 0.$

• 点 $a$ 的 $\delta$ 邻域：$U(a;\delta )=(a-\delta , a+\delta )=\left\{x\mid \left| x-a \right|<\delta \right\}$，简记作：$U(a)$；
• 点 $a$ 的 $\delta$ 去心邻域：$U^\circ (a;\delta)=\left\{x\mid 0< \left| x-a \right|<\delta \right\}$，简记作：$U^\circ (a)$，与邻域的区别在于不包含点 $a$；
• 点 $a$ 的 $\delta$ 左邻域：$U_{-}(a;\delta) = (a-\delta ,a)$，简记作：$U_{-}(a)$；
• 点 $a$ 的 $\delta$ 右邻域：$U_{+}(a;\delta) = (a,a+\delta )$，简记作：$U_{+}(a)$。

度量空间中的邻域

度量空间$(X,\rho)$中的一个点$x_0 \in X$的邻域通常指的是以$x_0$为心$\delta > 0$为半径的开球，即$B(x_0, \delta) = \{ \rho(x, x_0) < \delta \}$。

赋范线性空间$(X, \| \cdot \|)$中的一点的邻域是通过范数决定的度量$\rho(x, y) = \| x-y \|$给出的。

Euclid 空间$\R^n$中点$x$的邻域$U$一般是用2-范数给出的 $$B_2(x, \delta) = \left\{ y \in \R^n: \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 < \delta^2 \right\}.$$

拓扑空间中的邻域

假设$X$是拓扑空间，点$x \in X$，那么点$x$的一个邻域是指包含$x$的一个开集$U$，有的资料中不要求$U$是开集，为作区分我们常称邻域为开集的情形为开邻域。有的资料上定义$x \in X$的邻域$U$的方式是：$U$包含包含$x$的一个开集$V$即可，即：$x \in V \subset U$，不要求$U$是否是开集，而我们定义的邻域始终是开集。

一个点集$E \subset X$的邻域定义为包含$E$的开集。

邻域公理

假设有拓扑空间$X$，$x \in X$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系，记作$\mathcal{N}(x)$。假设$X$是拓扑空间，$x \in X$且$\mathcal{N}(x)$是$x$的一个邻域系。

1. $\mathcal{N}(x) \ne \varnothing$且若$U \in \mathcal{N}(x)$那么$x \in U.$
2. 若$U, V \in \mathcal{N}(x)$，那么$U \cap V \in \mathcal{N}(x).$
3. 若$U \in \mathcal{N}(x), U \subset V$，那么$V \in \mathcal{N}(x).$
4. 若$U \in \mathcal{N}(x)$则存在$V \in \mathcal{N}(x)$使得$V \subset U$且对任意$y \in V$都有$V \in \mathcal{N}(y).$

实际上，从上面四点我们可以建立拓扑的邻域公理：假设$X$是一个集合，又设对每一点$x \in X$都存在一个集合系$\mathcal{N}(x)$使得它满足如上四点，则$X$有唯一的一个拓扑使得对任意$x \in X$，$\mathcal{N}(x)$是$x$的邻域系。

这个拓扑中的开集是这样诱导的：其中的开集定义为$X$的子集$U$，且如果$x \in U$则$U \in \mathcal{N}(x).$这个拓扑和开集公理定义的拓扑等价。

其它一些定义拓扑的不同公理详见拓扑。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.