邊界

在點集理論中，一個集合的邊界（boundary）是區分集合内部和外部的概念，邊界一定是閉集。一般而言，一個點集可能包含邊界點，也可能不包含。拓撲的概念可以使用邊界公理構建，這等價於開集公理，詳見拓撲。

度量空間

在度量空間$X$中，對$X$中一個集合$S$而言，其邊界集合$\text{Bd}(S)$的定義如下：

對於所有屬集合$\text{Bd}(S)$的點$x$的任意開球$B(x)$而言，$B(x)$永遠包含至少一個屬於$S$的點，和一個不屬於$S$的點。

也可以使用$\partial S$表示集合$S$的邊界，這個記號是比較通用的表示。

拓撲空間

拓撲空間一般沒有開球的概念，因此在度量空間中的定義我們需要稍加改善，用開鄰域替換開球：

假設$X$是拓樸空間，$S$是其中的一個點集，我們定義$S$的邊界$\text{Bd}(S)$為：對於所有屬集合$\text{Bd}(S)$的點$x$的任意鄰域而言，$B(x)$永遠包含至少一個屬於$S$的點，和一個不屬於$S$的點。

這等價於：

1. $S$的内部和外部的交集的補集。
2. $S$的閉包和$S$補集閉包的交集。

性質

假設$S$是拓撲空間$X$中的點集，$\text{Bd}(S)$是其邊界，那麽

$\overline{S} = S \cup \text{Bd}(S) = \text{Int}(S) \cup \text{Bd}(S).$

此外$S$是開集當且僅當它不包含邊界點，$S$是閉集當且僅當它包含所有邊界點。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.