道路连通空间

在点集拓扑理论中，道路连通性是人们更为熟悉也是更为直观的连通性。

定义

道路

我们需要先定义什么是道路。假设$X$是拓扑空间，每一个连续映射$f: [0, 1] \to X$称为是一条道路，$f(0), f(1)$分别称为道路的起点和终点，若$f(0) = f(1)$，这条道路也被称为闭路，它的起点被称为闭路的基点。

道路$f$的象集$f([0, 1])$被称为是一条曲线或弧，注意我们严格区分道路和曲线的概念，道路强调过程而曲线强调结果。

道路连通空间

假设$X$是拓扑空间，给定两个点$x,y \in X$，如果存在一条道路$f: [0, 1] \to X$使得$f(0) = x, f(1) = y$，我们就称$x, y$是道路连通的，如果$X$中任意两点都是道路连通的，我们就称$X$是道路连通空间。$X$中的子集$Y$如果作为$X$的子空间是道路连通空间，我们就称$Y$是道路连通的子集。

实数空间中的子集，连通等价于道路连通。

道路连通分支

我们可以规定拓扑空间$X$上的二元关系$\sim: x \sim y$当且仅当$x, y$是道路连通的，这个关系是等价关系，因此我们可以把任何一点$x$所在的等价类拿出来，称其为$x$决定的道路连通分支。

如果$S$是拓扑空间$X$的子集，将$S$视为$X$的子空间定义$X$的子集$Y$的道路连通分支。

每一个道路连通分支都是一个道路连通子集。$n$维单位球面$S^n$是道路连通的。

性质

1. 道路连通空间是连通空间，反之未必。道路连通空间和局部连通空间没有直接关系。
2. 道路连通性是可商的，假设$X$道路连通且$f: X \to Y$是连续映射，那么$f(X)$是道路连通的。
3. 道路连通空间的有限乘积空间是道路连通的。
4. Euclid 空间$\R^n$的连通开集是道路连通的，任何一个开集的道路连通分支同时也是连通分支。
5. 假设$\{ Y_\lambda \}_{\lambda \in \varLambda}$是$X$的道路连通子集族，如果对任意的$\alpha, \beta \in \varLambda$在指标集$\varLambda$中有有限个元素$\lambda_1 = \alpha, \lambda_2, \lambda_3, \cdots, \lambda_n, \lambda_{n+1} = \beta$使得对任意$i = 1,2,\cdots,n$，集合$Y_{\lambda_i} \cap Y_{\lambda_{i+1}} \ne \varnothing$，那么$\bigcup_{\lambda \in \varLambda} Y_\lambda$是道路连通的。

局部道路连通空间

像局部连通空间那样可以定义局部的道路连通，假设$X$是拓扑空间，如果对任意$x \in X$以及$x$的任意邻域$U$，存在$x$的一个道路连通的邻域$V \subset U$，则称拓扑空间$X$是局部道路连通空间。

拓扑空间$X$的子集$S$，如果作为子空间是局部道路连通空间，我们就称$S$是$X$中的局部道路连通子集。

相关的性质：

1. 局部道路连通空间都是局部连通空间。
2. 假设$X$是局部道路连通空间，$f: X \to Y$是连续的开映射，那么$f(X)$是局部道路连通空间。
3. 局部道路连通空间的有限乘积空间是局部道路连通空间。
4. 局部道路连通空间$X$中的开集$U$是$X$中的道路连通子集当且仅当$U$是$X$的连通子集。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.