通量

在场论中，通量是衡量一个向量场中物质流动情况的一个量。

概念

设定义在$\mathit{\Omega}$上的一个向量场$\boldsymbol{F}$，$\boldsymbol{S} \in \mathit{\Omega}$是分块光滑的有向曲面，称$\boldsymbol{F}$沿$\boldsymbol{S}$的第二型曲面积分

$$\iint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}$$

称作向量场$\boldsymbol{F}$穿过曲面$\boldsymbol{S}$的通量，也称流量，常用$\boldsymbol{\Phi}$表示。

物理意义

流速场的一块面积$\boldsymbol{S}$上的通量就是该流体在单位时间内流过该有向曲面的体积，如果$\boldsymbol{F}$和$\boldsymbol{S}$的正方向夹角是锐角，那么就说$\boldsymbol{F}$流过$\boldsymbol{S}$的正流量大于负流量，曲面上的总通量大于零则总体$\boldsymbol{F}$从$\boldsymbol{S}$的负侧流向正侧；相反，如果某处$\boldsymbol{F}$和$\boldsymbol{S}$的正方向夹角是钝角，那么就说$\boldsymbol{F}$流过$\boldsymbol{S}$的正流量小于负流量，曲面上的总通量小于零则总体$\boldsymbol{F}$从$\boldsymbol{S}$的正侧流向负侧。

当曲面总通量为零时不能断言曲面$\boldsymbol{S}$两侧没有$\boldsymbol{F}$流入或流出，而是一种“动态平衡”，即流入曲面和流出曲面的流量相同，当然也包括流入和流出同时为零的情形。

在物理中，静电场的电通量、磁场的磁通量都是常见的通量。

闭合曲面的通量

对于一个闭合分块光滑有向曲面$\boldsymbol{S}$，通量

$$\oiint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}$$

有特别的意义。我们规定它的方向沿曲面向外的法向，即外法线方向。

闭合曲面通量如果大于零，即流入曲面的通量小于流出曲面的通量，那么由闭曲面$\boldsymbol{S}$包围的区域中必定有提供新通量的源泉，这使得流出的通量变多了；闭合曲面通量如果大于零，即流入曲面的通量大于流出曲面的通量，那么由闭曲面$\boldsymbol{S}$包围的区域中必定有吸收通量的漏陷，这使得流出的通量变少了；闭合曲面通量如果等于零，即流入曲面的通量等于流出曲面的通量，那么由闭曲面$\boldsymbol{S}$包围的区域中可能无源无漏，也可能有源有漏，只是源泉释放和漏陷吸收的能力相当。

上述对闭曲面$\boldsymbol{S}$内的情形通量的计算，可以很直观地判断某区域中是否有源泉或漏陷，但是并不有力，这是因为闭合曲面通量如果大于零，那么由闭曲面$\boldsymbol{S}$包围的区域中有可能有源有漏，但源泉释放的能力强于漏陷吸收的能力。因此，我们不得不将区域进一步缩小，实际上，由于源泉和漏陷并不在同一位置（否则就可以将它们视作整体研究整体效果，这对场中源漏的影响不大），这样就引入了刻画某一个单点处的源漏情形的量——散度。

无源场

设区域$\mathit{\Omega}$上的连续可微向量场$\boldsymbol{F}$满足：对任意一个可连续收缩到$\mathit{\Omega}$中一点（零伦）的分块光滑闭曲面$\boldsymbol{S}$，都有

$$\oiint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0$$

我们就称$\boldsymbol{F}$是$\mathit{\Omega}$上的无源场，否则称作有源场，静电场是一个有源场。

无源场的如上定义等价于对任意点$M \in \mathit{\Omega}$，散度

$$\text{div} \boldsymbol{F} (M) = 0$$

这形象地理解为：向量场中的每一点都不是源泉，也都不是漏陷，这里的无源场，实际是无源无漏场。

平面情形

对于一个平面向量场，也可以类似定义它的通量，这时曲面积分退化为曲线积分。

平面区域$D$上的平面向量场$\boldsymbol{F}$穿过有向曲线$C$的通量定义为

$$\int_C \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d}s.$$

其中，$\boldsymbol{n}$是曲线$C$的切向顺时针旋转$90^\circ$得到的法向。

在直角坐标系中，若设$\boldsymbol{F} = P(x, y) \boldsymbol{i} + Q(x, y) \boldsymbol{j}$，那么有如下计算公式

$$\int_C \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d}s = \int_C P \mathrm{d}y - Q \mathrm{d}x.$$

右侧是一个第二型曲线积分。

对于曲面向量场的情形，详见曲面向量场。

上下节

• 上一节：梯度
• 下一节：散度

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.