连通空间

在点集拓扑理论中，连通性（connectivity）是一种很重要的拓扑性质。

定义

假设$X$是拓扑空间，如果$X$中有两个非空的隔离子集$A, B$使得$A \cup B = X$，我们就称$X$是不连通空间，否则就称$X$是连通空间（connected space）。

不连通空间的等价命题：

1. $X$是不连通的。
2. $X$中存在两个非空闭子集$A, B$使得$A \cap B = \varnothing$且$A \cup B = X.$
3. $X$中存在两个非空开子集$A, B$使得$A \cap B = \varnothing$且$A \cup B = X.$
4. 存在一个非常数的连续映射$f: X \to \{ 0, 1 \}.$
5. $X$中存在既开又闭的非空真子集。

从最后一条可以看出不连通性不是拓扑空间的好性质，因此联通的拓扑空间性质更好，我们常见的 Euclid 空间$\R^n$按照度量拓扑是连通的。

假设$A$是拓扑空间$X$的子集，如果$A$作为$X$的子空间是连通空间，我们就称$A$是$X$的连通子集（connected subset）。这样的定义只和子空间拓扑有关系。实数空间连同度量拓扑构成的拓扑空间，其中的连通子集只有区间（包含单点集）。

性质

1. 如果$A \subset B \subset X$，那么$A$是$X$的连通子集当且仅当$A$是$B$的连通子集。
2. 假设$Y$是$X$的连通子集，如果$X$中存在隔离子集$A, B$使得$Y \subset A \cup B$，那么$Y \subset A$或$Y \subset B.$
3. 假设$Y$是$X$的连通子集，如果$A, B$是$X$的无交开或闭集，$Y \subset A \cup B$，那么$Y \subset A$或$Y \subset B.$
4. 假设$Y$是$X$的连通子集，如果$Z \subset X$满足$Y \subset Z \subset \overline{Y}$，那么$Z$是$X$的连通子集。
5. 假设$\{ Y_\lambda \}_{\lambda \in \varLambda}$是$X$的连通子集族，且$\bigcap_{\lambda \in \varLambda} Y_\lambda = \varnothing$，那么$\bigcup_{\lambda \in \varLambda} Y_\lambda$也是连通的。推广见下例。
6. 假设$\{ Y_\lambda \}_{\lambda \in \varLambda}$是$X$的连通子集族，如果对任意的$\alpha, \beta \in \varLambda$在指标集$\varLambda$中有有限个元素$\lambda_1 = \alpha, \lambda_2, \lambda_3, \cdots, \lambda_n, \lambda_{n+1} = \beta$使得对任意$i = 1,2,\cdots,n$集合$Y_{\lambda_i}, Y_{\lambda_{i+1}}$不是隔离子集，那么$\bigcup_{\lambda \in \varLambda} Y_\lambda$是连通的。
7. 假设$Y \subset X$，若对任意的$x, y \in Y$存在$X$中的连通子集$Y_{xy}$使得$x, y \in Y_{xy} \subset Y$，那么$Y$连通。
8. 假设$\mathcal{T}, \mathcal{T}'$是$X$上的两个拓扑，且$\mathcal{T} \subset \mathcal{T}'$，$(X,\mathcal{T})$连通，那么$(X, \mathcal{T}')$也连通。
9. 假设$A$是$X$的连通子集，$B$是$X$中既开又闭的集合，如果$A \cap B \ne \varnothing$，那么$A \subset B.$
10. 假设$Y \subset X$，那么$Y$不连通当且仅当存在$X$的开集（或闭集）$A, B$使得$Y \subset A \cup B, A \cap B \subset X \setminus Y, A \cap Y \ne \varnothing, B \cap Y \ne \varnothing.$
11. 假设$Y \subset X$，那么$\overline{Y}$不连通当且仅当存在$X$的非空集合$A, B$使得$Y \subset A \cup B, \overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing, A \cap Y \ne \varnothing, B \cap Y \ne \varnothing.$
12. 连通性是可商的：假设$f: X \to Y$是连续映射且$Z \subset X$在$X$中连通，那么$f(Z)$在$Y$中连通。
13. 连通性是有限可乘的：连通空间的有限乘积空间还是连通的。
14. 有限连通的乘积空间的每个坐标空间是连通的。
15. 假设$A$是连通空间$X$的非空真子集，那么$\partial A \ne \varnothing.$
16. 假设$f: X \to \R$是连续函数，$X$是连通的，那么$f(X)$是$\R$上的区间。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.