在拓扑学中,一个拓扑空间的连通分支是该空间中的极大连通子集,且所有的连通分支对原空间做了划分。
定义[]
假设是拓扑空间,定义其上的二元关系当且仅当存在一个连通子集使得我们称这样的是连通的。可以证明,上述二元关系是等价关系。
所有和连通的点组成的集合(即所在的等价类)称为中包含的连通分支。
如果是的子集,作为的子空间的每一个连通分支称为中子集的连通分支。
性质[]
假设是拓扑空间,是的一个连通分支。
- (连通性)是的连通子集。
- (极大性)如果连通,并且,那么
- (闭性)是中的闭集。一般来说连通分支可以不是开集。
关于连通分支的其它性质:以下均假设是拓扑空间。
- 两点连通,如果是既开又闭的子集,那么同时属于或不属于,这个结论反之不真。
- 的任何一个既开又闭的连通子集必定是这个空间的一个连通分支。
- 如果只有有限个连通分支,那么的每一个连通分支都是既开又闭的集合。
- 假设是开集,是的连通分支,那么
- 假设是连通开集,那么是是连通分支。
参考资料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
.
点集拓扑学(学科代码:1103110,GB/T 13745—2009) | |
---|---|
基本概念 | 拓扑空间 ▪ 拓扑 ▪ 开集和闭集 ▪ 闭包和内部 ▪ 外部和边界 ▪ 聚点和导集 ▪ 连续映射 ▪ 同胚 ▪ 邻域 ▪ 邻域基 ▪ 拓扑基 ▪ 拓扑流形 |
可数可分性 | 拓扑分离公理 ▪ 完全正则空间 ▪ 第一可数空间 ▪ 第二可数空间 ▪ 可分空间 ▪ Hausdorff 空间 ▪ Lindelof 空间 ▪ Urysohn 引理 ▪ Tietze 扩张定理 ▪ Urysohn 度量化定理 |
新的拓扑 | 子拓扑 ▪ 乘积拓扑 ▪ 商拓扑 ▪ 拓扑和 ▪ 楔和 ▪ 贴空间 |
紧性和连通性 | 紧空间和紧集 ▪ 列紧空间 ▪ 序列紧致空间 ▪ 可数紧致空间 ▪ 局部紧致空间 ▪ 仿紧致空间 ▪ 覆盖 ▪ 粘结引理 ▪ 隔离子集 ▪ 连通空间 ▪ 连通分支 ▪ 局部连通空间 ▪ 道路连通空间 |
映射空间 | 点式收敛拓扑 ▪ 一致收敛拓扑 ▪ 紧致-开拓扑 |
所在位置:数学(110)→ 拓扑学(11031)→ 点集拓扑学(1103110) |