中文数学 Wiki
Advertisement

在拓扑学中,一个拓扑空间的连通分支是该空间中的极大连通子集,且所有的连通分支对原空间做了划分。

定义[]

假设拓扑空间,定义其上的二元关系当且仅当存在一个连通子集使得我们称这样的是连通的。可以证明,上述二元关系是等价关系

所有和连通的点组成的集合(即所在的等价类)称为中包含连通分支

如果的子集,作为子空间的每一个连通分支称为中子集的连通分支。

性质[]

假设是拓扑空间,的一个连通分支。

  1. (连通性)的连通子集。
  2. (极大性)如果连通,并且,那么
  3. (闭性)中的闭集。一般来说连通分支可以不是开集。
实数中全体有理数构成的子空间的每个连通分支都是单点集,它不是开集

关于连通分支的其它性质:以下均假设是拓扑空间。

  1. 两点连通,如果是既开又闭的子集,那么同时属于或不属于,这个结论反之不真。
  2. 的任何一个既开又闭的连通子集必定是这个空间的一个连通分支。
  3. 如果只有有限个连通分支,那么的每一个连通分支都是既开又闭的集合。
  4. 假设是开集,的连通分支,那么
  5. 假设是连通开集,那么是连通分支。

参考资料

  1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
Advertisement