連續映射

映射的連續性是拓撲上的一個概念。一元實函數的連續性參見連續函數，複變函數的連續性詳見複變函數的連續性，Euclid 空間中多元函數的連續性詳見多元函數的連續性。

定義

假設有拓撲空間$X, Y$，一個映射$f: X \to Y$在$x \in X$處稱為是連續的（continuous），是指對任意$f(x)$的鄰域$V$，$f^{-1}(V)$是$x$的一個鄰域。形象地說：開集的原象是開集。這等價於：閉集的原象是閉集。

$f$在$A \subset X$上連續，是指它在$A$中的每一點連續。

如果$f: X \to Y$是連續的雙射且逆映射也連續，那麼我們稱$f$是同胚。

序列語言

在度量空間中描述映射的連續性有對應的$\varepsilon\text{-}\delta$語言，它和開集原象是開集是等價的，但是在一般的拓撲空間中不存在這樣的序列語言。

假設$X, Y$是拓撲空間，$f: X \to Y$在$x \in X$處連續，且$x_n \to x \in X$那麼$f(x_n) \to f(x) \in Y.$

注意反之不真，但是如果$X$是第一可數的，那麼有：如果$f: X \to Y$滿足對任意收斂到$x$的序列$x_n$都滿足

$$x_n \to x \in X \Longrightarrow f(x_n) \to f(x) \in Y.$$

那麼$f$在$x$處連續。

一般我們稱將收斂序列映為收斂序列的映射稱為序列連續映射（sequentially continuous map）。在非度量空間的場合下，序列連續可以不是（拓撲）連續的，這在泛函分析中的弱收斂和弱連續場合下是很有區分的必要的。

此外我們還有

假設$X, Y$是拓撲空間且$X$第一可數，$f: X \to Y$在$x \in X$處連續，當且僅當如果$x_n \to x \in X$那麼存在$\{ x_n \}$的子列$\{x_{n_k}\}$使得$f(x_{n_{k}})\to f(x)\in Y.$

參見這裡。

性質

以下均假設$X, Y$是拓撲空間。

1. 值域為單點集的映射是連續的。
2. 恆等映射是連續的。
3. 連續映射的限制是連續的，即若$f: X \to Y$連續且$A \subset X$，那麼$f|_A: A \to Y$連續。
4. 連續映射的複合是連續的。
5. $f: X \to Y$連續當且僅當$\forall x \in X$存在一個鄰域使得$f$在其上連續。
6. $f: X \to Y$連續當且僅當$\forall A \subset X, f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.$
7. $f: X \to Y$連續當且僅當$\forall B \subset Y, f^{-1}(\text{Int}(B)) \subset \text{Int}(f^{-1}(B)).$
8. 離散空間到任意拓撲空間的映射都是連續的。
9. 任意拓撲空間到平凡拓撲空間的映射都是連續的。
10. 從平凡拓撲空間到豪斯多夫空間的連續映射只有常數映射。
11. 假設$f, g: X \to Y$連續且$Y$是豪斯多夫空間，那麼支集$\{ x \in X: f(x) = g(x) \}$是閉集。
12. 假設$f: X \to Y$是雙射，那麼$f$是開映射（映開集為開集）當且僅當$f$是閉映射（映閉集為閉集）當且僅當$f^{-1}$連續。
13. 假設$f: X \to Y$是連續映射，$X$是可分空間，那麼$f(X)$是可分空間；如果$X$是 Lindelof 空間，那麼$f(X)$也是。
14. 關於子空間的幾個映射連續性，參見子空間。

參考資料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.