连续映射

映射的连续性是拓扑上的一个概念。一元实函数的连续性参见连续函数，复变函数的连续性详见复变函数的连续性，Euclid 空间中多元函数的连续性详见多元函数的连续性。

定义

假设有拓扑空间$X, Y$，一个映射$f: X \to Y$在$x \in X$处称为是连续的（continuous），是指对任意$f(x)$的邻域$V$，$f^{-1}(V)$是$x$的一个邻域。形象地说：开集的原象是开集。这等价于：闭集的原象是闭集。

$f$在$A \subset X$上连续，是指它在$A$中的每一点连续。

如果$f: X \to Y$是连续的双射且逆映射也连续，那么我们称$f$是同胚。

序列语言

在度量空间中描述映射的连续性有对应的$\varepsilon\text{-}\delta$语言，它和开集原象是开集是等价的，但是在一般的拓扑空间中不存在这样的序列语言。

假设$X, Y$是拓扑空间，$f: X \to Y$在$x \in X$处连续，且$x_n \to x \in X$那么$f(x_n) \to f(x) \in Y.$

注意反之不真，但是如果$X$是第一可数的，那么有：如果$f: X \to Y$满足对任意收敛到$x$的序列$x_n$都满足 $$x_n \to x \in X \Longrightarrow f(x_n) \to f(x) \in Y.$$ 那么$f$在$x$处连续。

一般我们称将收敛序列映为收敛序列的映射称为序列连续映射（sequentially continuous map）。在非度量空间的场合下，序列连续可以不是（拓扑）连续的，这在泛函分析中的弱收敛和弱连续场合下是很有区分的必要的。

此外我们还有

假设$X, Y$是拓扑空间且$X$第一可数，$f: X \to Y$在$x \in X$处连续，当且仅当如果$x_n \to x \in X$那么存在$\{ x_n \}$的子列$\{x_{n_k}\}$使得$f(x_{n_{k}})\to f(x)\in Y.$

参见这里。

性质

以下均假设$X, Y$是拓扑空间。

1. 值域为单点集的映射是连续的。
2. 恒等映射是连续的。
3. 连续映射的限制是连续的，即若$f: X \to Y$连续且$A \subset X$，那么$f|_A: A \to Y$连续。
4. 连续映射的复合是连续的。
5. $f: X \to Y$连续当且仅当$\forall x \in X$存在一个邻域使得$f$在其上连续。
6. $f: X \to Y$连续当且仅当$\forall A \subset X, f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}.$
7. $f: X \to Y$连续当且仅当$\forall B \subset Y, f^{-1}(\text{Int}(B)) \subset \text{Int}(f^{-1}(B)).$
8. 离散空间到任意拓扑空间的映射都是连续的。
9. 任意拓扑空间到平凡拓扑空间的映射都是连续的。
10. 从平凡拓扑空间到豪斯多夫空间的连续映射只有常数映射。
11. 假设$f, g: X \to Y$连续且$Y$是豪斯多夫空间，那么支集$\{ x \in X: f(x) = g(x) \}$是闭集。
12. 假设$f: X \to Y$是双射，那么$f$是开映射（映开集为开集）当且仅当$f$是闭映射（映闭集为闭集）当且仅当$f^{-1}$连续。
13. 假设$f: X \to Y$是连续映射，$X$是可分空间，那么$f(X)$是可分空间；如果$X$是 Lindelof 空间，那么$f(X)$也是。
14. 关于子空间的几个映射连续性，参见子空间。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.