连续型随机变量

在概率论中，连续型随机变量是一类十分重要的非离散型随机变量。

概念

一个连续型随机变量$X$是在某个区间$I$（有限或无限）上可以连续取值的随机变量，我们定义它的概率分布函数 $$F(x) = P \{ X \leqslant x \}$$ 它的分布函数有性质

1. 绝对连续性：存在非负实函数$f(x)$，使得$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\mathrm{d}t$，这个函数称为$X$的概率密度函数；
2. 单调性：$\forall a \leqslant b, F(a) \leqslant F(b);$
3. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1.$

概率密度函数$f(x) = F'(x)$并不表示$x$点处取值的概率，实际上一个连续型随机变量在单点（或任意一个零测集）处的概率为零。正因此，分布函数也可写为 $$F(x) = P \{ X < x \}$$

设$B \subset \R^1$是一个 Borel 点集，那么 $P \{ X \in B \} = \int_B F(t) \mathrm{d}t.$

分位数及其函数

连续型随机变量的概率分布函数表征了$X \leqslant x$时的概率，如果我们想知道某个给定概率的情形下分布函数对应的$x$值，这就涉及到分位数问题，实际上分位数对应的问题实分布函数的反函数问题。

对给定的$0 < p < 1$，称满足 $$F(x_p) \leqslant p \leqslant F(x_p^+)$$ 的$x_p$为该分布的$p$分位数。

连续型随机变量的函数

设两个连续型随机变量有关系$Y = g(X)$，$g(x)$是一维 Borel 可测函数，已知$X$的分布函数为$F_X (x)$，于是$Y$的分布函数 $$F_Y (y) = P \{ Y < y \} = P \{ g(X) < y \} = \int_{g(X) < y} f(x) \mathrm{d}x.$$ 当$g(x)$为单调或逐段单调时，上述问题十分容易处理，例如

1. 若$g(x)$单调上升，则有$F_Y (y) = P \{ g(X) < y \} = P \{ X < g^{-1} (y) \} = F(g^{-1}(y)).$
2. 若$g(x)$单调下降，则有$F_Y (y) = P \{ g(X) < y \} = P \{ X > g^{-1} (y) \} = 1-F(g^{-1}(y)).$
3. 若$g(x) = x^2$，则有$$F_Y (y) = \begin{cases} P \{ X^2 < y \} = P\{ -\sqrt{y} < X < \sqrt{y} \} = \displaystyle{\int_{-\sqrt{y}}^\sqrt{y}} f(x) \mathrm{d}x , & y \geqslant 0 \\ 0, & y < 0. \end{cases}$$进而密度函数$$f_Y (y) = F'_Y (y) = \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \displaystyle{\int_{-\sqrt{y}}^\sqrt{y}} f(x) \mathrm{d}x , & y \geqslant 0 \\ 0, & y < 0. \end{cases}$$上式中涉及到变上下限积分的求导。

数学期望和方差

设有连续型随机变量$X$，如果积分 $$\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x) \mathrm{d}x$$ 绝对收敛，我们就把这个值称为随机变量$X$的数学期望，记作$E(X)$，如果它不绝对收敛，我们就说该随机变量的数学期望不存在。

方差被定义为数学期望也随笔扮靓偏离量的平方的加权平均，即积分 $$\int_{-\infty}^{+\infty} (x-E(X))^2 f(x) \mathrm{d}x$$ 绝对收敛，我们就把这个值称为随机变量$X$的方差，记作$D(X)$，如果它不绝对收敛，我们就说该随机变量的方差不存在，方差存在的前提是数学期望存在。

方差也可以通过下式计算 $$D(X) = E(X^2) - (E(X))^2.$$

上下节

• 上一节：Poisson 分布
• 下一节：指数分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.