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在泛函分析和拓扑可测空间理论中,连续函数空间(space of continuous functions)是一个拓扑空间上的连续实值或复值函数连同最大模拓扑构成的一种完备度量空间

概念[]

假设是一个度量空间,是一个完备的度量空间,用表示的所有有界的连续函数之全体,其上的距离定义为

那么是度量空间。

特别地,

  1. 是紧集时,距离也可定义为这是因为紧集上的连续函数是有界的,且上下确界可达(Cantor-Heine 定理)。
  2. 是一维欧氏空间(实数空间)时,上述连续空间也记作又当是闭区间时,就是普通一维的连续函数空间。

当然连续函数空间可以直接在一般的拓扑空间上定义,只不过这样定义的空间不一定再有度量结构。

完备性[]

上述空间是完备的。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
我们要证明:任意 Cauchy 列是收敛列。由 Cauchy 列定义:,当时有

,由确界定义,有
因此中的 Cauchy 列,因为是完备的,所以中的收敛列,并记#A1中令,得到
因此得到上的收敛关于是一致的。又因为上是连续且一致有界的,因此极限函数上也是连续且有界的。

这就说明了上收敛于一个有界的连续函数

Arzela-Ascoli 定理[]

假设是度量空间中的紧集,Arzela-Ascoli 定理给出了中的列紧集的充分必要条件。它指出:

度量空间中的一个紧集的全体连续函数组成的连续函数空间。则是列紧集当且仅当是一致有界且等度连续的函数族。

即:一致有界且等度连续的函数族存在一个一致收敛的子列使其收敛到一个中的连续函数。

欧氏空间中的结果[]

一个在偏微分方程及其他各种分析方向中应用广泛的连续函数空间是在高维 Euclid 空间中一开集上定义的一种连续函数空间,记作:,它其中的元素是次连续可微(零次连续可微即连续)函数且对任意满足多重指标,都有有界,其上的拓扑诱导了一种范数

因此这种空间是赋范线性空间,因此是 Banach 空间。我们记它也是 Banach 空间。简记作

此外还有一致连续函数空间,其上的函数均是有界且一致连续于开集的,它是上述空间的闭子空间,因而是 Banach 的。此外还可定义 Hölder 空间,给定一个 Hölder 指标,对应有。这几个空间之间具有嵌入关系:

如果凸集,那么还有嵌入
可以从这些嵌入中体会到 Hölder 指标提供了分数阶导数,但是是在几乎处处意义下的,因为有这个嵌入关系。

如果将上述各种空间定义的连续函数换为满足相应条件的在开集中具有紧支集且支集在中的函数,那么会得到对应的闭子空间,用记号等表示。

关于上的稠密子集族有著名的 Stone-Weierstrass 定理

其它子空间[]

假设是局部紧的拓扑空间,是完备度量空间,表示具有紧支集的连续函数全体,即当且仅当紧集。如果Banach 空间表示在无穷远处消失的连续函数全体,即当且仅当对任意的而言紧集,显然,这里表示的有界连续函数。此外:

假设是局部紧的 Hausdorff 空间,那么一致收敛拓扑下的闭包
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
  1. 一方面,如果一致收敛到,那么对任意的存在使得于是当,即
  2. 另一方面,如果,对,显然是紧集,由 Urysohn 引理(局部紧版本)可知存在满足以及,令可得是一致收敛到的()。

这说明是在一致收敛拓扑(即最大模范数决定的拓扑)下是完备的,在这种拓扑下并不完备,不过如果是紧的,那么,而如果是局部紧且可分的度量空间,我们可以分解为可列个递增的相对紧的开集的并集,这样每个都是 Banach 的,进而,我们定义其上的拓扑是使得所有的嵌入都是连续的且是局部凸的使得空间完备的最强拓扑,这种拓扑导出的收敛性可以这样描述:序列收敛到当且仅当

  1. 存在一个紧集使得
  2. 包含的一个中一致收敛到

类似于基本空间上的拓扑的定义。

共轭空间[]

具有紧支集的连续函数构成的连续函数空间及其一致闭包上的线性泛函有着很重要的刻画,即下面的 Riesz 表示定理,它表明:的共轭空间都是某种类型的测度空间,如果是局部紧的可分度量空间,那么

  1. 的共轭空间是所有符号 Radon 测度的全体构成的测度空间。
  2. 的共轭空间是所有有限符号 Radon 测度的全体构成的测度空间。

且进一步我们可以定义测度空间上的*弱收敛

假设是局部紧的可分度量空间,上的符号 Radon 测度组成的空间,我们称测度序列(局部*)弱收敛到是指
对任意

同样可以将换为来定义,

假设是局部紧的可分度量空间,上的有限符号 Radon 测度组成的空间,我们称测度序列(*)弱收敛到是指
对任意

这两个都是对应的可分 Banach 空间的共轭空间上的*弱收敛,因此由 Banach-Alaoglu 定理可以得到*弱紧性,但是注意:对于非紧的空间而言,这两种定义是不等价的,有的资料上在中用定义弱收敛,这种收敛性一定是局部*弱收敛的,反之不正确(考察例子,它一定按照弱收敛到零,但是若取,显然没有收敛性),这种定义也有一定的应用,参见测度的弱收敛

对于有界连续函数空间,它的共轭空间比测度空间大,其上也可以类似定义弱收敛,严格而言它也不再是*弱收敛。

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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