连续函数

一个连续函数例子

连续函数（continuous function）是函数的某种性质，几何上就是可用“一条连续不断的曲线”将它表达出来的函数。

定义

函数在一点的连续定义

若说一个函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则表示 $f(x)$ 在 $x_0$ 点有定义且极限存在，且 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。这个定义等价于若一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$，使得当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$。

以上的这种定义可推广至任意度量空间上。由定义我们也可以知道函数在一点连续是这个函数的局部性质。

用改变量的语言来描述就是： $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，等价于 $\lim _{\Delta x \to 0} \Delta f(x) = 0$。

从单侧极限受到启发，我们可以定义单侧连续性：

1. 若一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续，则对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$；
2. 若一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续，则对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$，使得当 $x_0 - \delta < x < x_0$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$。

我们不难看出，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续当且仅当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续且左连续。

函数连续于区间的定义

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 中的每一点 $x_0$ 都连续，则 $f(x)$ 连续于区间 $I$。对于区间包含端点的情况，我们要求这个函数在这一点左（右）连续。

由于函数在一点连续地定义中 $\delta$ 是存在性的，如果我们固定 $x_0$，那么 $\delta$ 仅依赖于 $\varepsilon$；在讨论区间函数连续性时，如果我们固定 $\varepsilon$，随着 $x_0$ 的变化 $f( x_0 \pm \delta )$ 也在变化，那么这个 $x_0$ 邻域的半径 $\delta$ 也就有可能不同，进而知道 $\delta$ 也依赖于 $x_0$，所以准确说来 $\delta$ 应该表示为 $\delta(x_0, \varepsilon)$。

连续函数的性质

局部性质

局部有界性

连续于点 $x_0$ 的函数 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 上有界。

局部保号性

连续于点 $x_0$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(x_0) > 0$，则 $\forall M \in (0, f(x_0)), \exists U(x_0)$ 使得 $\forall x \in U(x_0)$ 有 $f(x) > M$；

连续于点 $x_0$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(x_0) < 0$，则 $\forall M \in (0, - f(x_0)), \exists U(x_0)$ 使得 $\forall x \in U(x_0)$ 有 $f(x) < - M$。

闭区间连续函数性质

最值定理

连续于闭区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 在该区间上有最大值和最小值，进而在该区间上有界。

零点定理

连续于闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$，如果有 $f(a) f(b) < 0$，则必存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = 0.$

介值定理

连续于闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$，$\forall \mu \in (f(a), f(b)) \cap (f(b), f(a)), \exists x_0$ 使得 $f(x_0) = \mu$。

也就是说，定义在某个闭区间中的连续函数，它的函数值可取到端点函数值之间的任意值，进一步地，函数值可取到最值之间的任意值。

连续函数的运算

四则运算

连续函数经过有限次四则运算之后仍然是连续的；

复合函数连续性

设函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \to x_0} f(x) = y_0$，连续于点 $y_0$ 的函数 $g(y)$ 满足 $\lim _{y \to y_0} g(y) = a$，则我们有 $$\lim _{x \to x_0} g(f(x)) = g( \lim _{x \to x_0} f(x)) = a.$$

我们还可以把这个条件加强，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 也是连续的，我们有 $$\lim _{x \to x_0} g(f(x)) = g( \lim _{x \to x_0} f(x)) = g(f(x_0)).$$

反函数连续性

设严格单调递增（或递减）的函数 $f(x)$ 连续于区间 $[a, b]$ ，则在 $[f(a), f(b)]$（或 $[f(b), f(a)]$ ）上必定有 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1} (x)$，且它也连续于这个区间 $[f(a), f(b)]$（或 $[f(b), f(a)]$ ）并严格单调递增（或递减）。

取最值函数的连续性

如果 $f(x)$，$g(x)$ 连续于区间 $I$，则 $\max \{ f(x), g(x) \}$ 和 $\min \{ f(x), g(x) \}$ 也连续于区间 $I$。

间断点

并不是所有函数在所有区间上都是连续的，正如我们看到的有的函数图像一样，图像并不总是连续不断的。因此，在某些点处，函数可能不连续，我们就称不连续的点为不连续点，或者间断点。通过研究我们可以知道间断点有以下类型：

1. 

   跳跃点示例

   跳跃间断点：第一类不连续点的一种，函数图像出现在某点出现断崖式间断，即 $\lim _{x \to x_0^{+}} f(x)$ 和 $\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$ 都是有限数但不相等，无论 $x_0$ 点是否定义。
2. 可移间断点：也称可去不连续点，第一类不连续点的一种。函数在 $x_0$ 点没有定义，$\lim _{x \to x_0^{+}} f(x)$ 和 $\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$ 存在且相等或函数在 $x_0$ 点有定义，$\lim _{x \to x_0^{+}} f(x)$ 和 $\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$ 存在且相等但不等于 $f(x_0)$，这一类间断点通过改变在 $x_0$ 点出的定义（令 $f(x_0) = \lim _{x \to x_0^{+}} f(x) = \lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$）即可使函数重新连续。
3. 第二类间断点，分为无穷间断点和振荡间断点等，都是 $\lim _{x \to x_0^{+}} f(x)$ 和 $\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$ 至少有一个不存在的情况，例如，函数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$处就是无穷间断点。

初等函数的连续性

首先，基本初等函数在每个定义区间内都是连续的，由于连续函数的有限次四则运算和复合运算之后的函数都是连续的，进而可得基本初等函数在每个定义区间内都是连续的。

一致连续

连续性定义中 $\delta$ 依赖于给定的 $x_0$ 以及 $\varepsilon$，如果 $\delta$ 对于区间内任意给定的两点都适用，那这样的连续性就具有比之前更好的性质（换言之，更强的性质），我们就把这种连续性称为一致连续，下述其概念。

定义在区间 $I$ 上的函数，如果 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得 $\forall x_1, x_2 \in I$，当 $| x_1 - x_2 | < \delta$ 时有 $| f(x_1) - f(x_2) | < \varepsilon$，就称函数 $f(x)$ 一致连续于区间 $I$。

可以知道，一致连续的函数必连续于该区间，但反之未必，区间上的一致连续可推出子区间的一致连续，但不能推出更大区间的一致连续。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.