边缘分布

在概率论中，边缘分布又称边际分布，是多元概率分布的随机向量的分量（它们都是随机变量）组成的新随机向量所服从的分布。

二元边缘分布

设有二维随机向量$\boldsymbol{X} = (X, Y)$及其联合概率分布函数$F(x, y)$，我们知道 $$F(x, +\infty) = F_X (x), F(+\infty, y) = F_Y (y)$$ 其中$F_X (x), F_Y (y)$为随机变量$X, Y$的分布函数，我们就说这两个分布函数是随机向量$\boldsymbol{X}$关于随机变量$X, Y$的边际分布的分布函数。

由联合分布可以推出边际分布，但反之一般不可以，这是因为随机向量的分量之间有相关性。

考虑到上述随机变量$X$和$Y$是对称的，下面我们只讨论对$X$的边际分布。

离散型情形

设$X, Y$的所有可能取值分别为$x_i, y_i, i = 1,2,\cdots$则 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (X, Y) & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & Y \\ \hline y_1 & p(x_1, y_1) & p(x_2, y_1) & p(x_3, y_1) & \cdots & p(y_1) \\ \hline y_2 & p(x_1, y_2) & p(x_2, y_2) & p(x_3, y_2) & \cdots & p(y_2) \\ \hline y_3 & p(x_1, y_3) & p(x_2, y_3) & p(x_3, y_3) & \cdots & p(y_3) \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline X & p(x_1) & p(x_2) & p(x_3) & \cdots & \\ \hline \end{array}$$ 最后一行及最后一列分别是随机变量$X$和$Y$的边际分布，显然它们满足规范性 $$\sum_{i=1}^\infty p(x_i) = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty p(x_i, y_j) = 1.$$

连续型情形

设连续型随机向量$\boldsymbol{X} = (X, Y)$的联合概率密度函数为$f(x, y)$，那么其关于随机变量$X$的边际分布的概率分布函数为 $$F_X (x) = F(x, +\infty) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, y) \mathrm{d}u \mathrm{d}y.$$ 进而得出关于$X$的概率密度函数为 $$f_X (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d}y.$$

Wilks 不等式

设随机向量$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$的联合分布函数为$F(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，关于各变元的边际分布函数是$F_i (x_i)$，那么有如下不等式成立 $$F(x_1, x_2, \cdots, x_n) \leqslant \left( \prod_{i=1}^n F_i (x_i) \right)^\frac{1}{n}.$$

上下节

• 上一节：随机向量
• 下一节：条件分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.