辐角函数

在复变函数中，多值函数十分常见，借助复变函数来研究多值函数有利于我们更好地理解函数多值性的本质，而在复变函数中，绝大多数多值函数都是由辐角的多值性造成的，因此我们先通过辐角函数来给出研究多值函数的方法。

概念

设复数变量$z = r\text{e}^{\text{i}\theta} \in \C - \{0\}$，$r = |z|$，函数$f(z) = \theta$被称为辐角函数，记作$\operatorname{Arg} z$，我们约定$0$不定义辐角，因此辐角函数在$\C - \{0\}$是一个无穷多值的函数，每一个自变量都有无穷个函数值与之对应，但这些函数值之间只相差$2k\pi, k \in \Z$，我们取其中一个特定的值，称作$z$的辐角主值，所有$z \in \C - \{ 0 \}$的复数都有这样的定义后，这样就构造出一个单值函数，我们记作$\arg z$，一般情况下，辐角主值可取$(-\pi, \pi]$上的那个辐角值。

这样的记法在由辐角函数而导致的无穷多值的复变函数中很常见，用首字母大小写来区别是多值函数本身还是一个单支分支，例如复对数函数是一个由辐角函数造成的无穷多值的复变函数，那么我们就用$\operatorname{Ln} z$来代表这个多值函数，而用$\ln z$来代表某个单值分支。

辐角改变量

辐角函数的多值性，在极坐标上表现明显——它是因为复数绕原点的圈数不同。设$L$是$\C - \{0\}$上的一条有向简单曲线，$L$的起点是$z_0$，终点是$z_1$，当$z_0$沿着$L$连续变化到$z_1$时，$\overrightarrow{Oz}$所旋转的角度称为$\operatorname{Arg} z$沿着$L$的改变量，记作$\Delta_{L} \operatorname{Arg} z$。

这个量不仅和起点以及终点有关（如下图），和它转过的路径也有关，起点以及终点相同时，路径不同其值也可能不同，但它们都相差$2k\pi.$

辐角改变量不同的原因在于不同曲线绕原点的方式不同，实际上，$\Delta_{L_1} \operatorname{Arg} z = \Delta_{L_2} \operatorname{Arg} z \iff L_1 \sim L_2$，即这两条曲线在$\C - \{0\}$上同伦：在$\C - \{0\}$存在一个连续曲线族，可使$L_1$连续变形到$L_2$。

对于一个简单闭曲线$L$，有 $$\Delta_{L} \operatorname{Arg} z = \begin{cases} 0, & 0 \in I(C) \\ 2\pi, & 0 \in E(C). \end{cases}$$ 此外还有$\Delta_{L} \operatorname{Arg} z = -\Delta_{L^-} \operatorname{Arg} z.$

割破平面

研究多值函数通常采用割破平面以或限制定义域两种方法，割破平面相对来说是易于理解且较稳健的方法。它们都是将一个多值函数分为若干个单值解析分支来研究的，我们以辐角函数为例来研究多值函数。

我们研究辐角函数，目的是要让辐角改变量只与起点与终点有关，而与曲线的形状无关，这样对原函数限制后就变成一个单值解析的函数，因此我们可以将复平面$\mathbb{C}$沿着负实轴“剪开”，得到一个单连通区域$G$（剪开的方式不唯一，按照连接原点以及无穷远处的任意一条曲线均可），于是对于$G$内的任意一条简单曲线$L$（起点是$z_0$，终点是$z$），辐角改变量$\Delta_{L} \operatorname{Arg} z$和其形状无关，取定起点$z_0$的辐角主值（初值）$\arg z_0$，那么$\arg z = \arg z_0 + \Delta_{L} \operatorname{Arg} z$就是一个单值连续函数了。

如果取不同的初值$\arg z_0 + 2k\pi, k \in \Z$，那么对应了另外一些单值解析函数$\arg_k z = \arg z_0 + 2k\pi$，我们将这些所有的单值解析函数收集在一起，就构成了整个辐角函数$\operatorname{Arg} z$，这样我们通过割破平面的方法就将一个无穷多值函数划分为了若干个单值解析的函数。

我们要割破平面的原因是：如果不割破平面，选择原点的一个充分小邻域圆周$L$，并取定圆周上一个点$z_0$，那么从$z_0$出发逆时针绕圆周转一圈时，对应的$\arg z$不断增大，再次回到$z_0$后其值已经不是$\arg z_0$，而是$\arg z_0 + 2\pi$了，这样实际上并不是单值的函数，我们要使得这一点的值依然是$\arg z_0$，就必须限制自变量，使它不能这样转圈，因此割破平面。

设定义在数集$E$上的多值复变函数$w = f(z)$，闭域$\overline{E}$内有一点$z_0$，使得当变量$z$绕$z_0$的充分小邻域边界形成的圆周转动一圈回到初值时有$\Delta_L f(z) \ne 0$（即终值的函数值与初值的函数值不同）就称这一点$z_0$为函数$f$的支点，连接两条支点的曲线称为支割线，因此在辐角函数中，$z = 0, \infty$都是支点，连接两点之间的任意一条曲线都是支割线，特别地，负实轴也是支割线。在涉及到辐角造成的只有一个有限支点的无穷多值函数时通常选用负实轴为支割线。

上下节

• 上一节：复指数系函数的几何形态
• 下一节：复对数函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.